Тригонометрия – математическая дисциплина. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла (10 класс)

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии, сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.

Синус, косинус , тангенс и котангенс угла

Вспомним:
а
в
с
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол
(если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р.
1
Р

Радианная мера угла
R
С
центральный угол
R – радиус
С – длина дуги
Если R = C,
то центральный угол равен
одному радиану
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги
к радиусу окружности

Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Представьте угол 740о в виде ά° + 360°n , где n – целое число,
0<ά<1800.
2. Точка Р – конечная точка поворота на 50о. Найдите наименьшее по модулю значение угла β, точки P1, которая получается из точки Р симметрией относительно оси ординат.
3. Переведите угол 150о из градусной меры в радианную.
4. Переведите угол 1,25π из радианной меры в градусную.
5. Допишите равенство ...0 =
6. Запишите формулу перехода от рад
к градусам.
7. Запишите, как найти через стороны треугольника косинус угла ά. (рис)
Вариант 2
Представьте угол –710о в виде a° + 360°n, где n – целое число, 0<ά<180°.
2. Точка Р – конечная точка поворота на 50о. Найдите наименьшее по модулю значение угла β, точки P1 , которая получается из точки Р симметрией относительно оси абсцисс.
3. Переведите угол 135 о из градусной меры в радианную.
4. Переведите угол 2,5π из радианной меры в градусную.
5. Допишите равенство …0 =
6. Запишите формулу перехода от радиан к градусам.
7. Запишите, как найти через стороны треугольника синус угла ά.(рис)

Ответы
Вариант 1
№1 7400=3600·2+200
№2 1300
№3
№4 2250
№5 900
№6 ά рад =
№7
Вариант 2
№1 -7100 = 100 - 2·3600
№2 -500
№3
№4 4500
№5 450
№6 ά0 = рад
№7

х
у
1
1

Синус угла определяется как ордината
точки
Косинус — абсцисса точки
Тангенс – отношение ординаты к абсциссе
точки
Котангенс – отношение абсциссы к ординате
точки

Понятие синуса встречается уже в III в. до н. э.
и имел название джива (тетева лука) ,
в IX в. заменено на арабское слово
джайб (выпуклость) , XII в. заменено на латинское
синус (изгиб, кривизна) .
Косинус – это дополнительный синус.
Тангенс переводится с латинского
как «касающийся»

В курсе геометрии вы познакомились с тангенсом острого угла, равным частному синуса и косинуса этого угла:
tg φ = sin φ/cosφ
С помощью этого равенства можно определить тангенс любого угла φ, косинус которого отличен от нуля.
Тангенсом угла назывется частное синуса к косинусу этого угла.
Для углов, косинусы которых равны 0, т. е. углов вида π/2 + πn (n – любое число), тангенс не существует.

На рисунке к единичной окружности в точке P0 проведена касательная; Pφ – конечная точка поворота на угол φ; C – точка пересечения касательной и прямой OP φ.
Ордината точки С равна тангенсу угла φ

Докажем это. Заметим сначала, что tg φ и ордната точки С одинаковы по знаку. Так, если Pφ – точка I или III координатной четверти, то sin φ и cosφ или оба положительны…
или оба отрицательны.

Значит, их частное tg φ положительное. Точка С в этих случаях расположена в верхней полуплоскости и, следовательно, имеет положительную ординату.
Если же точка Pφ находится во II или в IV координатной четверти, то знаки sin φ и cosφ различны, следовательно, tg φ отрицателен. Точка С при этом находится в нижней полуплоскости и имеет отрицательную ординату.

1
1
-1
-1

Запомним !
1
1

(1; 0)
(0; 1)
(-1; 0)
(0;-1)

Проверим:
-
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
-
-
-
-

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
в координатных четвертях
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-

Периодичность тригонометрических
функций
При изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса
не изменяются

х
у

Домашнее задание
№6.3 А(1-5), Б(1-5), В(1-5)