Цилиндр. Круговой цилиндр

Слово «Цилиндр»
- происходит от греческого слова «Kylindros» - килиндрос, то есть «вращаю», «катаю», «валик», «свиток» .

Поверхность, образованная параллельными прямыми, пересекающими замкнутую кривую, лежащую в плоскости, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые — образующими цилиндрической поверхности. Получившееся геометрическое тело – ЦИЛИНДР.
Цилиндр, как геометрическое место точек
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболлический цилиндр

Вообще, цилиндр образуется при пересечении цилиндрической поверхности, образованной множеством параллельных прямых, проведенных через каждую точку замкнутой кривой линии, и двух параллельных плоскостей.

Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.
В основаниях могут лежать различные фигуры.

В школьном курсе рассматривается круговой цилиндр.
Это цилиндр, в основании которого - круг

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 называется цилиндром.
Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности — боковой поверхностью цилиндра.
Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.
Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Прямой цилиндр
1. Основание цилиндра
2. Образующие
3. Ось цилиндра
4. Радиус основания

Наклонный цилиндр
Наклонный цилиндр - цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания — вращением сторон ВС и АD.
Поэтому цилиндр называют телом вращения.

Сечение геометрического тела плоскостью-это плоская фигура

Сечения цилиндра
Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
АВСD – осевое сечение

Сечения цилиндра
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость - плоскость α на рисунке отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром.
Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Развертка цилиндра
Если развернуть боковую поверхность цилиндра, то получится прямоугольник, который состоит из образующих. Полную поверхность цилиндра образуют боковая поверхность и два основания (круга).

Площадь боковой поверхности цилиндра
Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости α.
В результате в плоскости α получится прямоугольник АВВ1А1.
Стороны АВ и В1А1 прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ.
Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.
Основание АА1 прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ — образующей цилиндра, поэтому АА1 = 2πr, АВ = h, где г — радиус цилиндра, h — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.
Sбок =2П r h

Площадь полной поверхности цилиндра
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.
Так как площадь каждого основания равна πr2, то для вычисления площади полной поверхности цилиндра получаем формулу:

Цилиндр в архитектуре
«Уолл Билдинг» в Хиро

Цилиндр в архитектуре
"Башня ветров" в Иокогаме

Цилиндр в архитектуре
Цементный комбинат на окраине французской столицы

Цилиндр в архитектуре
В китайском городе Чунцин появилась уменьшенная версия стеклянного Apple Store из Шанхая.

Цилиндр в архитектуре
Английский замок в Сандерленде украшает необычный фонтан, который создал архитектор Уильям Пай.
Фонтан представляет собой прозрачный цилиндр с воронкой водоворота по середине.

Цилиндр в архитектуре
Отель Radisson Blue расположен в Берлине и знаменит своим удивительным архитектурным стилем.
Здесь так же находится самый большой цилиндрический аквариум в мире.

Решение задач
№538
Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра равна S.
Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение задач
Решение:
По рисунку площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD.
SABCD=AB · AD = 2rh.
Sбок=2Пrh=S (по условию)
Выразим 2rh = S : П
Подставим в формулу площади и получим
SABCD = S : П

Решение задач
№541
Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?

Дано: L=4; d=20см=0,2м.
Найти: S.
Решение: Воспользуемся формулой площади полной поверхности цилиндра.
Радиус равен половине диаметра – 0,1м, а высота цилиндра равна длине нужной трубы – 4м.
Так на швы нужно добавить 2,5% площади ее боковой поверхности, нужно найти: (S+2,5%S). Подставим вместо S формулу площади боковой поверхности, и вычислим:
Ответ: 2,6 м2.