Задачи на построение сечений

Аксиомы и теоремы стереометрии
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А
В
α

Аксиомы и теоремы стереометрии
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
α
А
β
a

Аксиомы и теоремы стереометрии
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
α
β
γ

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Алгоритм построения сечений многогранников:
а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые;
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую;
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки, и провести через них прямую;
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

А
В
С
S
Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K.
D
E
K
M
F
Построение:
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
5. FD ∩ BС = M
6. KM
1. DE
DЕKМ – искомое сечение

Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС.
К
Р
М
Построение:
1. КP
2. EM ║ КP (К1Р1)
3. EK
KРNМE – искомое сечение
К1
Р1
E
N
4. МN ║ EK
5. РN

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Н
Т
М
Построение:
1. НМ
1. МТ
1. Н1. НT
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Н
Т
М
Построение:
1. НМ
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Н
Т
М
Построение:
1. МT
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ 2. НТ ∩ D2. НТ ∩ DС2. НТ ∩ DС 2. НТ ∩ DС =2. НТ ∩ DС = 2. НТ ∩ DС = Е
2. НТ ∩ 2. НТ ∩ B2. НТ ∩ BС2. НТ ∩ BС 2. НТ ∩ BС =2. НТ ∩ BС = 2. НТ ∩ BС = Е
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ ВС = Е
Назад
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = Е
Е
3. ME 3. ME ∩ 3. ME ∩ AA1 = = F
3. ME 3. ME ∩ 3. ME ∩ B3. ME ∩ BС3. ME ∩ BС 3. ME ∩ BС =3. ME ∩ BС = F
3. ME 3. ME ∩ 3. ME ∩ CC1 = = F
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
3. ME ∩ AA1 = F
2. НТ ∩ DС = E
E
Назад
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
3. ME ∩ CC1 = F
2. НТ ∩ DС = E
E
Назад
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. НF
4. ТF
4. МТ
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. НF
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. MT
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF F ∩ А1 АА А =А = K
5. ТF F ∩ В1ВВ В =В = K
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ А1 А = K
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. МK K ∩ АА1== L
6. НK K ∩ АK ∩ АD K ∩ АD =K ∩ АD = L
6. ТK K ∩ АK ∩ АD K ∩ АD =K ∩ АD = L
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. НK ∩ АD = L
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. TK ∩ АD = L
Комментарии:
Данные прямые - скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. МK ∩ АА1= L
L
7. LT
7. LF
7. LH
Выберите верный вариант:

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. МK ∩ АА1= L
L
7. LТ
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. МK ∩ АА1= L
L
7. LF
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Назад

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Н
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
E
3. ME ∩ ВС = F
F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
K
6. МK ∩ АА1= L
L
7. LН
НТFМL – искомое сечение

Пояснения к построению:
1. Соединяем точки K и F, принадлежащие одной плоскости А1В1С1D1.
Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K.
К
L
М
Построение:
1. KF
2. FE
3. FE ∩ АB = L
EFKNM – искомое сечение
F
E
N
4. LN ║ FK
6. EM
5. LN ∩ AD = M
7. KN
Пояснения к построению:
2. Соединяем точки F и E, принадлежащие одной плоскости АА1В1В.
Пояснения к построению:
3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА1В1В, пересекаются в точке L .
Пояснения к построению:
4. Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам).
Пояснения к построению:
5. Прямая LN пересекает ребро AD в точке M.
Пояснения к построению:
6. Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА1D1D.
Пояснения к построению:
7. Соединяем точки К и N, принадлежащие одной плоскости ВСС1В1.

А
В
С
S
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
К
М
Р
Е
N
F
Построение:
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
3. EР
4. ЕР ∩ АВ = F
ЕР ∩ ВC = N
5. МF
6. NК
КМFN – искомое сечение

Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.
К
L
М
Построение:
1. ML
2. ML ∩ D1А1 = E
3. EK
МLFKPG – искомое сечение
F
E
N
P
G
T
4. EK ∩ А1B1 = F
6. LM ∩ D1D = N
5. LF
7. ЕK ∩ D1C1 = T
8. NT
9. NT ∩ DC = G
NT ∩ CC1 = P
10. MG
11. PK

Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L.
К
L
F

Задача 7. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки F, K, L.
Проверка:
К
L
М
FМKLN – искомое сечение
F
N