Матрицы и определители

Математика - наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.
А. ЭЙНШТЕЙН

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначение:
Где
i=1,2…m
j=1,2…n
- матрица размерности m x n
- элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

матрица размерности m x n
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пример:
- квадратная матрица размерности 3х3
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

единичная матрица
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.
нулевая матрица
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
матрица-строка
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
матрица-столбец
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Распределение ресурсов по отраслям экономики:
С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.
Например:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Эту зависимость можно представить в виде матрицы:
Где элемент aij показывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные произведения образуют итоговую матрицу.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пусть дана матрица
Умножаем ее на число λ:
Где каждый элемент матрицы В:
Где:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Например:
Умножая матрицу
на число 2, получим:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пусть даны матрицы
Складываем их:
Где каждый элемент матрицы С:
Аналогично проводится вычитание матриц.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пример.
Найти сумму и разность матриц:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Решение:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

3. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пусть даны матрицы
Умножаем их:
Где каждый элемент матрицы С:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пример.
Найти произведение матриц:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:
Решение:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
Умножение матриц в общем случае некоммутативно:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)
1
2
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

λ(А+В)= λА+λВ
А(В+С)=АВ+АС
А(ВС)=(АВ)С
3
4
5
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

(АТ)Т=А
(А+В)Т=АТ+ВТ
свойства операции траспонирования:
1
2
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

(λА)Т= λАТ
(АВ)Т=ВТАТ
3
4
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пример.
Транспонировать матрицу:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Решение:
1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ