Уравнение Бернулли

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим:
z = u(x) ⋅ v(x) ,
Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.

Пример
Уравнение Бернулли

Пример

§9. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (2)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) , т.е. если
M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) .
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C .
⇒ Задачи:
1) научиться определять, когда выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy
является полным дифференциалом;
2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный диф-
ференциал.

ТЕОРЕМА 2.
Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные
Для того чтобы выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy
представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

Способы нахождения функции u(x , y):
1) используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоре-
мы 2;
2) используя одну из следующих формул:
где (x0 ,y0) – любая точка области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

3) методом интегрируемых комбинаций.
Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в
M(x , y)dx + N(x , y)dy
выражения, являющиеся дифференциалами известных функ-
ций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x , y) .
ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Проверим выполнение условий (3):
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Условия (4) здесь будут выглядеть так: