Комплексные числа

Определение: Числа вида a+bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.
a – действительная часть
bi – мнимая часть
b – коэффициент при мнимой части
Запись комплексного числа в виде
a+bi
называется алгебраической формой

.
Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Сложение комплексных чисел:
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Пример
z1=-4+10i z2=5+3i
Z =z1+ z2 =-4+5+10i+3i=1+13i
Ответ: Z=1+13i

Вычитание комплексных чисел
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Пример
z1=-5+10i z2=1+3i
Z= z1 – z2= (-5+10i ) – (1+3i)= = -5+10i – 1 – 3i = -6+7i
Ответ: Z=-6+7i

Умножение комплексных чисел
Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что z1∙z2= z2∙z1 – от перестановки множителей произведение не меняется.
Пример
z1=1-i z2=3+6i
Ответ: Z=9+3i

Деление комплексных чисел
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на выражение сопряженное знаменателю.
Пример:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Для проверки возьмите числа: Z1=2i, Z2= -3i
б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1= -5i, Z2=3i
в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=10i
г) Произведение чисто мнимого числа на
действительное равно чисто мнимому числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=7i, Z2=3
Справедливы следующие утверждения:

Закрепление:
Найдите значение выражения:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
9) 10)

Решение: