Устойчивость движения. Фазовая плоскость. Классификация точек покоя

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ -способность систем слабо менять (в том или ином смысле) своё состояние или свойства под действием возмущений. Теория устойчивости (У.) - это совокупность представлений и методов, обобщающих и формализующих различные аспекты У. разнообразных систем. Наиболее распространёнными понятиями теории У. являются У. по Ляпунову, орбитальная У., асимптотическая У., структурная У.

Основные понятия:
Пусть траектория L динамической системы задаётся отображением х(t) = Тtх0, где х-совокупность координат точки в фазовом пространстве системы, Тt - оператор эволюции, преобразующий нач. состояние системы с координатами х0 в состояние с координатами x(t)в момент времени t.

Траектория L у с т о й ч и в а п о Л я п у н о в у, если для сколь угодно малого e можно найти такое d, что для любого нач. состояния
близкого к x0, т. е. всегда окажется
То устойчивость называется асимптотической
Здесь r(x1, x2)- расстояние между точками х1 и х2 в фазовом пространстве. Если

Для исследования У. обычно применяют два метода Ляпунова. П е р в ы й (или п р я м о й) метод основан на построении ф-ции (функционала) Ляпунова. Например для ур-ния нелинейного осциллятора с трением
(1)
можно использовать следующую ф-цию Ляпунова:
(2)
Эта величина имеет смысл полной энергии системы: слагаемое V1 есть кинетическая, а V2 - потенц. энергия. Производная по времени от V с учётом ур-ния (1) есть

т. е. V убывает на любой траектории системы, кроме тех, к-рые отвечают стационарным состояниям (x=-w. 0, +w) Потенц. энергия имеет максимум V2=w4/4 при |x|=w. Поэтому для всех нач. условий
ни одна из траекторий не выйдет за пределы D- (иначе это повлекло бы рост, а не убывание V). Следовательно, система приближается к единственному стационарному состоянию в области D, где V достигает минимума V=0, т. е. к х=0. Это состояние асимптотически устойчиво.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по ,
2) .
Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.
Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть , то тривиальное решение неустойчиво.
.

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.
Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь большую размерность.
В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, например, величину отклонения от равновесия, на оси ординат — первая производная x по времени — скорость перемещения, что, очевидно, для движущихся материальных тел связывает ось ординат с импульсом тела.

Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени.
Полная совокупность всевозможных различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных состояний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц

Классификация точек
Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Рассмотрим следующие возможные случаи:
1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.
Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и
или
В этом случае точка покоя также будет устойчива.
или .