Усвоение соответствий понятий о свойствах функции и её производной. Открытый банк заданий ЕГЭ

Цель:
Осознанное усвоение
соответствий понятий
о свойствах функции
и её производной.
Не отвлекайтесь !

«Человек из дома вышел,
Посмотреть на мир поближе»…
(по горам, по долам…)
•
max
вправо
вверх
вправо
вниз
min
•
•
вправо
вверх
max
•
вправо
вниз
Х
У
График функции y = f(x)
Промежутки возрастания
Промежутки убывания
•
•
•
Точки экстремума
•
•
•
Нули функции ( у(х) = 0)
•
«В поход»
Экстремум функции
•
•
•
Свойства функции
читаем по графику
3
Сначала геометрический смысл производной
Что можно сказать
о производной f’(x) ?

у = k∙x + b - линейная функция,
график – прямая линия.
k – угловой коэффициент
k =
у = k∙x
x
Y
α
α
Касательная к графику функции…
параллельно
Тангенс угла наклона прямой
к положительному направлению оси ОХ
Значение производной функции
в точке касания
k = f’(x₀)
•
•
x₀
у = k∙x + b
tg α
y : x =
•
k = f’(x₀)
k параллельных прямых равны
Геометрический смысл производной
ПАМЯТКА
4

•
Х
У
График функции y = f(x)
Промежутки возрастания
Промежутки убывания
Точки экстремума
Нули функции ( у(х) = 0)
Экстремум функции
Что можно сказать
о производной f’(x) ?
f’(x)
= 0
Касательные y = kx + b
y = b
вида
параллельны оси ОХ
•
•
•
•
•
•
•
•
k = 0
tg α = 0
α – угол наклона
касательной к оси ОХ
•
•
почему?
5
α=0
ч
е
р
е
з

•
Х
У
График функции y = f(x)
Промежутки возрастания
Промежутки убывания
Точки экстремума
Нули функции ( у(х) = 0)
Экстремумы функции
•
•
Что можно сказать
о производной f’(x) ?
/////////////////
///////////////////
f’(x)
> 0
f’(x)
< 0
//////////////
////////////////////////////
•
•
•
•
•
•
•
•
Почему ?
Касательные y = kx + b
•
•
Углы наклона
ОСТРЫЕ
k = tgα
> 0
Почему ?
Касательные y = kx + b
Углы наклона
ТУПЫЕ
k = tgα
< 0
•
•
6

по графику
(2012) На рисунке изображён график функции y=f(x)
отмечены восемь точек на оси абсцисс: х₁ , х₂ , … х₈.
положительна ?
(1)
(2)
Две задачи
В 8.
В скольких из этих точек производная функции f(x)
отрицательна ?
Решение:
?
f(x)
убывает
Ответ:
2
Решение:
?
Ответ:
4
f(x)
возрастает
Почему не берём точки Х₂ и Х₇ ?
Х₂ и Х₇ - точки экстремума.
f’(Х) = 0 !
Дополнительный вопрос
Ответ
В них
по графику
•
•
•
•
•
•
•
•
7

•
Х
У
График функции y = f(x)
Что можно сказать
о производной f’(x) ?
y = f(x)
8
•
•
Значение производной
в точке касания (по рис.)
х₀
•
а) указаны две точки прямой
Через точку (1), которая НИЖЕ
(1)
(2)
- прямую параллельно ОХ
Через точку (2), которая ВЫШЕ
- прямую параллельно ОУ
α
f’(x) =
tg α
3
4
= 3:4
= 0,75
б) не указаны точки прямой
САМИ укажем !
•
(1)
(2)
Как и в 1-м случае
α
•
x₀
•
π–α
4
5
f’(x) =
tg (π–α) =
= - tgα =
– 4:5
= – 0,8
•
•

13
Х
У
График функции y =f ’(x)
Что можно сказать
о функции f(x) ?
y = f’(x)
Укажите число точек, в которых
касательные к графику функции у=f(x)
параллельны прямой
а) у = -13
б) у = 2х+5
4
2
0
1
2. Найдите точку наибольшего значения функции f(x) на отрезке [5;9]
9
–8
15
/////////////////////
f’(x) > 0
3. Укажите число промежутков убывания функции y = f(x)
3
1
•
•
•
•
К
Л
Ю
Ч
4. Укажите число целых точек, в которых функция y = f(x) возрастает
1
2
3
4
5
11
6
7
8
9
10
12
13
ТЕСТ
Ответить на все вопросы
проверить, кликнув ключ
сверить свои рассуждения
1а.
касательная y= kx+b
данная прямая y=0x-13
f’(x) = k = 0
1б.
Дана прямая у=2х+5
f’(x) = 2
k=2 у всех параллельных
прямых
•2
•
•
2.
График f’(x)
выше оси ОХ
f(x) - возрастает
•
f(9) - наибольшее
3.
f(X) - убывает -
на промежутках, где
f’(x) ≤ 0
4.
Это абсциссы точек
промежутков
возрастания (f’(x) ≥ 0)
целые числа
После
самостоятельного
решения
9

1.На рисунке изображены график
функции y=f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой x₀.
Найдите значение производной
функции f(x) в точке x₀.
Через уровнем ниже
Через уровнем выше
угол
α
tg =
2
8
0,25
треугольник
α
π–α
tg
(π–α) =
6
3
6
:3
−tg
α =
-
=
-2
0,25
–2
Ответ после самостоятельного решения
10

На рисунке изображен график y=f ’(x) –
производной функции f(x),определенной
на интервале(-5;7). Найдите промежутки
убывания функции f(x). В ответе укажите
сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
На рисунке изображен график y=f ’(x) –
производной функции f(x). Определенной
на интервале (-8;4). В какой точке отрезка
[-7;-3] принимает наименьшее значение.
Почему ?
И что ?
-7
f’(x)>0
f’(x) ≤ 0
f(x) убывает
/////////////////////////////
+4
-2
-1
+0
+1
+2
+3
+5
+6
=
18
/////////////
Целые
точки
18
- 7
Ответ после самостоятельного решения
11

2. На рисунке изображен график y=f ’(x) -производной функции , определенной
на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции,принадлежащую отрезку [-2;6].
На рисунке изображен график
функции y=f (x),определенной
на интервале (-2;12). Найдите
сумму точек экстремума функции.
f’(x) = 0
экстремум функции
•
•
•
•
•
•
•
1
+2
+4
+7
+9
+10
+11
=
44
•
−2
•
6
•
4
Точка экстремума
f’(x) = 0
44
4
Ответ после самостоятельного решения
12

Сами проводили касательную!
На рисунке изображен график функции
у = f(x). Прямая, проходящая через начало
координат, касается графика этой функции
в точке с абсциссой 10. Найдите значение
производной функции в точке x₀.
10
α
π−α
tg(π−α) =
−tgα =
6
10
− 6 : 10
−0, 6
f’(x₀) =
На рисунке изображен график функции
y = f(x). Прямая, проходящая через начало
координат, касается графика этой функции
в точке с абсциссой 8. Найдите y = f’(8) .
решение
ответ
1,25
Решение:
α
tgα =
10
8
10:8 =
1,25 = f’(x₀)
ответ
В чём особенность задач?
13