Векторная алгебра

Векторная алгебра
Определение
Вектором называется направленный отрезок
Обозначение вектора:
- длина вектора
Определение
Вектор, длина которого равна единице
называется единичным вектором

Векторная алгебра
Определение
Единичный вектор, направление которого
совпадает с направлением вектора называется
ортом вектора и обозначается
Определение
Три вектора в пространстве называются
комплонарными, если они лежат в одной плоскости
или в параллельных плоскостях
Определение
коллинеарных векторов

Векторная алгебра
Если вектор составляет угол с осью OX,
то проекция вектора на ось ОХ называется
произведение на
Определение

Векторная алгебра
Пусть в 3-х-мерном пространстве задана прямоугольная система координат OXYZ
Пусть - единичные векторы, направление которых совпадает с положительными направлениями координатных осей OX, OY, OZ соответственно
Углы, образованные
вектором с
осями координат:

Векторная алгебра
Проекция вектора на оси координат
Вектор имеет координаты x, y, z, то есть
в прямоугольной системе координат ОXYZ или где
- единичные векторы координатных осей
- длина вектора
- направляющие косинусы вектора

Действия сложения векторов и
умножения вектора на число называются
линейными операциями над векторами
Векторная алгебра
Пусть - векторы, заданные на
плоскости или в пространстве
Выражение вида
где -произвольные действительные числа
называется линейной комбинацией векторов

Векторы называются линейно
зависимыми, если существуют такие
действительные числа одновременно
не обращающиеся в ноль , что линейная
комбинация векторов с этими числами равна
нулевому вектору
Векторная алгебра
Определение
Если равенство (1) выполняется только в случае,
когда , то вектора
называются линейно независимыми

Пример
Рассмотрим на плоскости два неколлинеарных вектора и
Покажем, что эти векторы линейно независимы
(метод от противного)
Доказательство
Предположим, что вектора линейно зависимы. По определению линейно зависимых
векторов
Для определенности предположим , тогда
Таким образом,
Противоречие! Предположение не верно

Пример
Проверим, являются ли линейно зависимыми вектора
По определению линейно (не)зависимых векторов
Запишем это равенство для координат векторов

Пример
Получена система линейных однородных уравнений относительно неизвестных .
Если ранг матрицы системы меньше 3, то система имеет ненулевое решение вектора
линейно зависимы
Если ранг равен 3, то система имеет только тривиальное решение вектора
линейно независимы

Пример
Вектора линейно независимые

Векторная алгебра
Пусть - неколлинеарные векторы на
плоскости, тогда всякий комплонарный им вектор
можно представить и притом единственным
образом в виде линейной комбинации векторов
и , то есть , что
Теорема
(о разложении вектора на плоскости)
(2)

Векторная алгебра
Доказательство
1) Покажем существование разложения
По условию векторы - неколлинеарные векторы эти векторы не нулевые.
В случае, если
тогда разложение (2) справедливо при

Векторная алгебра
В случае, если
тогда разложение (2) справедливо при
Одновременное выполнение
не может быть

Векторная алгебра
Общий случай, когда вектора и
неколлинеарные.
Приведем к общему началу и построим параллелограмм так, чтобы вектор
был его диагональю, то есть выполним построение

Векторная алгебра
По правилу сложению векторов
Таким образом, разложение (2) существует

Векторная алгебра
1) Докажем единственность разложения (2)
Предположим противное, что разложение (2) не единственно, то есть
(3)
Вычтем из (2) разложение (3)
при
(*)

Векторная алгебра
Таким образом, существует такое число
что выполняется (*) вектора .
коллинеарные, что противоречит условию теоремы Разложение (2) единственно
Ч.Т.Д.