Векторный анализ -теория поля. Типы векторных полей. Лекция 18

5. Типы векторных полей
а) соленоидальное
Векторное поле ā(M) называется соленоидальным (трубчатым), если divā(M) ≡ 0 .
Физический смысл: векторное поле соленоидальное ⇔ в нем нет источников и стоков.
СВОЙСТВА СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ПОЛЯ
1) Если векторное поле ā(M) является ротором некоторого векторного поля (т.е. ā(M) = rot b̄(M) = [∇̄, b̄]), то оно является соленоидальным .
Вектор b̄(M) называют векторным потенциалом векторного поля ā(M).
2) Поток векторного поля через любую замкнутую поверхность (S) равен нулю.

б) потенциальное
Векторное поле ā(M) называется потенциальным если
rotā(M) ≡ 0̄
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
1) Векторное поле ā(M) потенциальное ⇔ оно является градиентом некоторого скалярного поля, т.е.
ā(M) = grad u(M) = ∇̄u
Функцию u(M) называют потенциалом векторного поля ā(M) .
2) Циркуляция потенциального векторного поля по любой замкнутой линии (ℓ) равен нулю.
3) Векторные линии потенциального поля незамкнуты.
4) В потенциальном поле векторные линии перпендикулярны к поверхностям уровня потенциала

в) гармоническое
Векторное поле ā(M) называется гармоническим если оно является соленоидальным и потенциальным одновременно.
СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОЛЯ
1) Поле ā(M) гармоническое ⇔ rotā(M) ≡ 0̄ и divā(M) ≡ 0.
2) Если векторное поле ā(M) гармоническое, то ∃u(M) такая, что ā(M) = grad u(M)
и
Уравнение (1) называют уравнением Лапласа.
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.