Векторы в пространстве

Скорость
Ускорение
Сила
Величины, которые характеризуются не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами.

Определение вектора.
Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.
Вектор характеризуется следующими элементами:
1. начальной точкой (точкой приложения);
2. направлением;
3. длиной («модулем вектора»).

Если начало вектора – точка А, а его конец – точка В, то вектор обозначается АВ или а.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.
Обозначение вектора.

Нулевой вектор – точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается: 0.
Абсолютной величиной (длиной или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора обозначается |а|.

Коллинеарные векторы.
а c
b
d
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону, то векторы называются сонаправленными.
Обозначаются : а↑↑b.
Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны, то векторы называются противоположно направленными.
Обозначаются : a↑↓d.
Нулевой вектор считают сонаправленным с любым.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

действия над векторами.

Сложение векторов.
Правило треугольника. (правило сложения двух произвольных векторов а и Ь). Отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС =а+Ь.

Сложение коллинеарных векторов.
По этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника.

Сложение векторов.
Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограма, известным из курса планиметрии.

Свойства сложения векторов.
Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:
а + b = b + a
(переместительный закон);
(a + b) + c = a + (b + с)
(сочетательный закон).

Сложение нескольких векторов.
Правило многоугольника Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Разность векторов.
Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле:
а - b = а + (-b)

Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого
равна |k|*|а|, причем векторы а и b сонаправлены при k O и противоположно направлены при k<0.
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Правила умножения вектора на число.
Для любых векторов а, b и любых чисел k, f справедливы равенства:
(kf)a=k(fa) ( сочетательный закон);
k(a + b)= ka + kb (первый распределительный закон);
(k + f) a =ka + fa (второй распределительный закон).

Свойства умножения вектора на число.
Отметим, что (-1)а является вектором, противоположным вектору а, т.е.
(-1)a = -а.
если вектор а ненулевой, то векторы (-1)а и а противоположно направлены.
если векторы а и b коллинеарны и а О, то существует число k такое, что b= ka.