Виды задач на вступительной работе для поступления в математическую вертикаль

Знакомство с видами задач на вступительной работе для поступления в математическую вертикаль
Цели вебинара
Знакомство с условиями задач.
Разъяснение основных принципов написания решения стандартных задач.
Проверка взаимопонимания со слушателями
Озвучивание и демонстрация идеи решения примеров первой части.
Разбор заданий 9 и 10

Необходимые материалы
https://vertical.sch-int.ru/kak-rabotat-v-proekte/arhiv-kontrolnyh/
https://www.karusel.desc.ru/

Разбор некоторых заданий прошлых вариантов

1б) Найдите значение выражения:

2. (1 балл) Сколько существует чисел от 1 до 32, которые делятся на 5, но не делятся на 2?
Это числа, оканчивающиеся
на 5, их 3 (5, 15, 25)
Ответ: 3

3. (1 балл) Бригада рабочих состоит из 30 человек: плотников и землекопов; причем в копании ям участвуют только землекопы. После того, как в бригаду наняли еще 6 землекопов, скорость копания ям увеличилась в три раза. Сколько в бригаде плотников? Все землекопы копают с одинаковой скоростью.

Если мы при добавлении 6 землекопов увеличили скорость в три раза - значит именно землекопов стало в три раза больше.
В уме составим уравнение:
землекопы + 6 = землекопы · 3,
землекопы · 2 = 6,
землекопы = 3.
Вспомним что всего было 30 рабочих:
30 – 3 = 27(чел.) - плотники.
Ответ: 27 плотников.

4. (1 балл) У Вовы был прямоугольный торт. Чтобы разделить его между одноклассниками, он сделал 2 разреза параллельно длинной стороне и 3 разреза параллельно короткой стороне (каждый разрез он делал от края до края торта). После этого каждый получившийся кусочек он разделил пополам.
Сколько человек учится в классе, если все, кроме Вовы, получили по одному куску торта?

Если разрезаем прямоугольный торт в одну сторону двумя разрезами, а в другую тремя, сколько кусков получится?
Т.к. частей больше чем интервалов (разрезов) на 1, то
(2 + 1) · (3 + 1) = 3 · 4 = 12 (кусков) – после больших разрезов
А потом каждый кусочек ещё пополам, и получим
12 · 2 = 24 (куска) – всего, т.е. 24 человека в классе без Вовы
24 + 1 = 25 (человек) – в классе с Вовой
Ответ: 25 человек

5. (3 балла) Андрей, Гена, Боря и Вася братья.
Им 3, 8, 12 и 14 лет (кому сколько лет, неизвестно). Известно, что сумма возрастов Андрея и Бори делится на 4, а Андрея и Васи — на 5. Сколько лет Гене?

Посмотрим на все возможные суммы, которые можно получить, сложив возраст каких-то двух братьев (3, 8, 12 и 14 ) -> 11, 15, 17, 20, 22, 26.
Заметим, что единственные два числа, сумма которых делится на 4 — это 8 и 12, поэтому кому-то из Андрея и Бори 8 лет, а кому-то — 12 лет.
Два числа, сумма которых делится на 5 — это 3 и 12 или 8 и 12. Но 8 и 12 быть не может, поскольку это возраста Андрея и Бори, поэтому кому-то из Андрея и Васи 3 года, а кому-то — 12 лет.
Поскольку единственное имя, которое не встретилось в условиях — это Гена, а единственное не встретившиеся число — это 14, то Гене 14 лет. Замечание. Можно рассуждать по-другому. Поскольку Андрей присутствует в обоих условиях, то ему 12 лет. Отсюда Васе — 3 года, Боре — 8 лет, а Гене — 14 лет.
Ответ: 14 лет

6. (3 балла) Гулливер гонится за лилипутом. Первоначально расстояние между ними равно 8 шагам Гулливера.
Пока Гулливер делает 1 шаг, лилипут пробегает 7 шагов, но один шаг Гулливера такой же длины, как 11 шагов лилипута. Сколько шагов успеет пробежать лилипут до того момента, когда Гулливер его догонит?

Т.к. первоначально между ними 8 шагов Гулливера, и каждый шаг Гулливера равен 11 шагам лилипута, то между Гулливером и лилипутом 88 шагов лилипута.
За один шаг Гулливер проходит расстояние, равное 11 шагам лилипута, а в это время лилипут успевает отбежать на 7 шагов. Таким образом, за один шаг Гулливера расстояние между ними сокращается на 11 – 7 = 4 шага лилипута.
Поэтому Гулливеру потребуется 88 : 4 = 22 шага, чтобы догнать лилипута.
За это время лилипут успеет пройти 22 · 7 = 154 шага.
Ответ: 154 шага.

А сейчас я вам предлагаю попробовать свои силы в решении аналогичных задач.
Проверка усвоенных знаний

1. Прямоугольный кусок ткани режут на носовые платки. Сначала было сделано 4 разреза параллельно короткой стороне, затем 1 разрез параллельно длинной стороне (все разрезы сделаны от края до края). Потом каждый кусок разрезали на 4 части.
Сколько получилось платков?

2. На шоколадной фабрике есть 100 автоматов для производства белого и молочного шоколада, причем каждый автомат может создавать только один тип шоколада. После того, как фабрика закупила 80 автоматов для белого шоколада, производство белого шоколада увеличилось в 5 раз.
Сколько на фабрике автоматов для производства молочного шоколада? Все автоматы работают с одинаковой скоростью.

3. Мальчик купил в магазине альбом для рисования, цветные карандаши, акварельные краски и фломастеры. За покупки он заплатил 55, 51, 39, 26 рублей, но неизвестно за какую покупку сколько.
Известно, что сумма стоимости альбома и красок делится на 6, а альбома и карандашей на 7. Сколько стоят фломастеры ?

4. Пока мама зайчиха занималась делами, зайчонок решил пойти погулять. Он сделал 300 прыжков, когда мама заметила, что он исчез и бросилась его догонять.
Пока мама делает 1 прыжок, зайчонок делает 3, но длина прыжка зайчихи в 9 раз больше прыжка зайчонка. Зайчонок заметил маму и бросился удирать, когда расстояние между ними сократилось до 120 его прыжков. Он стал делать 5 прыжков за 1 прыжок мамы.
Сколько всего прыжков сделает зайчонок
до того, как мама его догонит?

5. Коля, Вася, Лена, Наташа и Таня упаковывали теннисные шарики в коробки, по 8 штук в каждую. Больше всех шариков упаковала Лена – 37, меньше всех – Вася – 19.
Сколько всего коробок было упаковано, если количество шариков, упакованных Колей, Наташей и Таней делится на 9.

6. Бамблби решил посоревноваться в беге с Рэтчетом. Чтобы было интересно, Бамблби дал своему другу фору равную 14 своим шагам (отошёл назад на 14 шагов).
Пока Бамблби делает 1 шаг, Рэтчет пробегает 9 шагов, но один шаг Бамблби такой же длины, как 15 шагов Рэтчета. Линия финиша находится в 400 шагах Рэтчета от него.
Успеет ли Рэтчет добежать до финиша, прежде чем Бамблби обгонит его?

Подумайте
над задачами

1. Прямоугольный кусок ткани режут на носовые платки. Сначала было сделано 4 разреза параллельно короткой стороне, затем 1 разрез параллельно длинной стороне (все разрезы сделаны от края до края). Потом все куски разрезали на 4 части. Сколько получилось платков?
Решение: 5 · 2 · 4 = 40 платков получилось.
Ответ: 40 платков.
Решения

2. На шоколадной фабрике есть 100 автоматов для производства белого и молочного шоколада, причем каждый автомат может создавать только один тип шоколада. После того, как фабрика закупила 80 автоматов для белого шоколада, производство белого шоколада увеличилось в 5 раз. Сколько на фабрике автоматов для производства молочного шоколада? Все автоматы работают с одинаковой скоростью.
Решение: пусть было х автоматов для белого шоколада, тогда составим уравнение х + 80 = 5х . Решим его: 80 = 4х, х = 80 : 4 = 20. Значит автоматов для молочного было 100-20=80. Ответ: 80.

3. Мальчик купил в магазине альбом для рисования, цветные карандаши, акварельные краски и фломастеры. За покупки он заплатил 55, 51, 39, 26 рублей, но неизвестно за какую покупку сколько. Известно, что сумма стоимости альбома и красок делится на 6, а альбома и карандашей на 7. Сколько стоят фломастеры?
Решение: Рассмотрим все суммы.
55 + 51 = 106 (не кратно ни 6 ни 7)
55 + 39 = 94 (не кратно ни 6 ни 7)
55 + 26 = 81 (не кратно ни 6 ни 7)
39 + 26 = 65 (не кратно ни 6 ни 7)
51 + 26 = 77 (кратно 7) альбом и карандаши
51 + 39 = 90 (кратно 6) альбом и краски
Значит фломастеры стоят 55 рублей
Ответ: 55 рублей

4. Пока мама зайчиха занималась делами, зайчонок решил пойти погулять. Он сделал 300 прыжков, когда мама заметила, что он исчез, и бросилась его догонять. Пока мама делает 1 прыжок, зайчонок делает 3, но длина прыжка зайчихи в 9 раз больше прыжка зайчонка. Зайчонок заметил маму и бросился удирать, когда расстояние между ними сократилось до 120 его прыжков. Он стал делать 5 прыжков за 1 прыжок мамы. Сколько всего прыжков сделает зайчонок до того, как мама его догонит?
Решение: В первой половине погони расстояние за 1 мамин прыжок сокращалось на 6 прыжков зайчонка. За 30 маминых прыжков сократилось до 300 – 30 · 6 = 120 прыжков зайчонка.
Далее за 1 мамин прыжок расстояние сокращалась на 9 – 5 = 4 прыжка зайчонка. Мама догнала его за 120 : 4 = 30 прыжков. Мама сделала всего 60 прыжков, что равно 60 · 9 = 540 прыжков зайчонка. Всего зайчонок сделал 540 прыжков.
(по другому 300 + 30 · 3 + 30 · 5) Ответ: 540 прыжков

5. Коля, Вася, Лена, Наташа и Таня упаковывали теннисные шарики в коробки, по 8 штук в каждую. Больше всех шариков упаковала Лена – 37, меньше всех – Вася – 19. Сколько всего коробок было упаковано, если количество шариков, упакованных Колей, Наташей и Таней делится на 9.
Решение: 37 + 19 = 56. делится на 8. Значит количество упакованных Колей, Наташей и Таней делится не только на 9, но и на 8, то есть на 72.
Коля, Наташа и Таня упаковывали не меньше 20 · 3 = 60 и не больше 37 · 3 = 111 шариков. Единственное число, кратное 72 в этом диапазоне, – 72. Всего упаковали коробок (56 + 72) : 8 = 16.
Ответ: 16 коробок

6. Бамблби решил посоревноваться в беге с Рэтчетом. Чтобы было интересно, Бамблби дал своему другу фору равную 14 своим шагам (отошёл назад на 14 шагов). Пока Бамблби делает 1 шаг, Рэтчет пробегает 9 шагов, но один шаг Бамблби такой же длины, как 15 шагов Рэтчета. Линия финиша находится в 400 шагах Рэтчета от него. Успеет ли Рэтчет добежать до финиша, прежде чем Бамблби обгонит его?
Решение: Т.к. сначала между ними 14 шагов Бамблби, и каждый шаг Бамблби равен 9 шагам Рэтчета, то между Бамблби и Рэтчетом 9 · 14 = 126 шагов Рэтчета.
Рэтчет успевает отбежать на 126 шагов и ему остаётся 274 шага. В шагах Рэтчета, Бамблби осталось бежать 400, которые он пробежит за 26 и ⅔ шага. За это время Рэтчет успеет пробежать только 26 ⅔ · 9 = 240 шагов, а ему ещё оставалось 274 - значит он не успеет добежать до финиша.
Ответ: нет