Вывод формулы Герона. Геометрия 8 класс

Формула Герона
Площадь треугольника со сторонами a,b,c выражается формулой
где полупериметр треугольника

Доказательство:
a
b
c
y
х
h
А
В
С
Н
х+у=с

Треугольники АCН и ВСН – прямоугольные
По теореме Пифагора
в треугольнике ВСН : h2 =
в треугольнике АСН : h2 =
a2-х2
b2-у2
=
А
b
Н
B
C
у
a
h
х
c

Преобразуем получившееся равенство
а2
=
х2
-
в2
-
у2
у2-х2
=b2-a2
(у-х)(у+х)
=b2-a2
y+x=c
,получим
b2-a2
(у-х)с=
у-х=
(b2-a2)
+
,
, но
y+x=c
2y=c+
(b2-a2)
Раскрыв скобки и сложив слагаемые в правой части, получим
2y=
,
y=

a2-х2
= b2-у2
=h2
h2
= b2-у2
=(b-y)(b+y)=
но
y=
=(b- )(b+ )=

Продолжим преобразование

Итак,

теорема доказана!