Xüsusi törəməli diferensial tənliklərin həlli metodları

I
Müasir texnikanın bir çox nəzəri və tətbiqi məsələləri xüsusi törəməli diferensial tənliklərlə ifadə olunur. Bu tənlik­lərin həlli üçün analitik şəkildə düsturlar almaq əksər hallarda mümkün olmur. Bununla əlaqədar olaraq xüsusi törəməli dife­ren­sial tənliklərin sərhəd məsələlərinin həlli üçün təqribi metod­ların istifadə oluması mühüm əhəmiyət kəsb edir. Ona görə də iki naməlum dəyişəni olan ikinci tərtib xüsusi törə­mələri olan xətti tənliklər üçün sərhəd məsələlərinə baxaq.
(1.1) ; (1.2)
Puasson tənlikləri üçün Dirixle məsələsinin həllinə baxaq. Yəni (1.1) və (1.2) tənliklərini və aşağıdakı sərhəd şərtlərini ödəyən u(x,y) funksiyasını tapmaq lazımdır.

II
1) 2) 3) 4)
Burada verilmiş funksiyalardır. Hesab edi­rik ki, verilmiş oblastın daxilində u(x,y) funksiyası kəsilməz funk­siyadır, yəni
x və y-ə uyğun olaraq h və l addımlarını götürək və
haradakı, torunu quraq. (1.1) və (1.2) tənlik­lə­rini sonlu
fərqlərlə aproksimasiya etmək üçün aşağıdakı şəkil­də göstərilən tor oblastı istifadə
olunur. qəbul edək. və xüsusi törəmələrinin torun daxili
nöqtələrində aproksimasiyası aşağıdakı kimi olar:

III
Bunları (14.1) və (14.2)-də nəzərə alaq:
(1.3)
(1.4)
Diferensial tənliklərin belə aproksimasiyası zamanı xəta olur. (14.1) və (14.2) tənlikləri u(x,y)-in torun nöqtə­lə­rindəki təqribi qiymətlərinə görə xətti cəbri tənliklər sisteminə çevrilir.

IV
l=h olan halda bu sistem aşağıdakı kimi olar:
(1.5)
i=0,1,2,...,n-1, j=0,1,2,...,m-1.
Beləliklə, verilmiş düzbucaqlı oblastda Laplas və Puasson tənlikləri üçün Dirixle məsələsinin həlli u(x,y) funksiyasının torun daxili nöqtələrində təqribi qiymətlərinin tapılmasına gəlir. -ları tapmaq üçün isə (1.5) tənliklər sistemini həll etmək lazımdır. Bu sistemi həll etmək üçün Qauss-Zeydel metodundan istifadə etmək daha əlverişlidir. Bu üsul aşağıdakı şəkildə iterasiyalar ardıcıllığının qurulmasına əsaslanır:

V
Yuxarıdaki düsturda “s” – iterasiyaların nömrəsini göstərir. şərtində ardıcıllığı (1.5) sisteminin dəqiq həllinə yığılır. İterasiya prosesinin sonu kimi ,
qəbul edilir. Baxılan məsələnin kompüterdə həlli üçün C++ proq­ram­laşdırma dilində proqram kodunu aşağıdakı kimi tərtib etmək olar:
1) 2)
<

VI
3) 4)