Интегрирование функций

При дифференцировании мы искали производную по заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x).
Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x), найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).
1. Понятие неопределенного интеграла

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b).
Например, для f(x) =x2 первообразная
F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2.
Для f(x) =cosx первообразной будет
F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.

Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна на (a,b).
Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они только постоянным слагаемым.
Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .

Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и
обозначается символом
т.е.

Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
f(x) – подынтегральная функция.

Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.

Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
Его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.

Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной.
Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.

Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Пример семейства интегральных кривых

Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций.
Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования.
Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.

Таблица основных неопределенных интегралов

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. Свойства неопределенных интегралов

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.
3. Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в комбинацию более простых функций с использованием известных формул.
Метод разложения

Таких методов два:
а) метод замены переменной;
б) интегрирование по частям.
3. Основные методы интегрирования

Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести его нахождение к нахождению такого неопределенного интеграла, который может быть найден методом разложения.
Другими словами, необходимо получить:
∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)
Метод замены переменной

Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx
Этот интеграл не является табличным.
Произведем замену: y = 2x
Тогда dy=(y)’dx=2dx
dx = dy/2
Соответственно:

Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x).
Разделим отрезок [a,b] на n частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A0, A1, A2, …, An-2, An-1, An в порядке возрастания следующим образом:
x0=a, x1, x2, x3, …, xn-2, xn-1, xn=b
4. Определенный интеграл

Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции в точках, соответственно:
B0, B1, B2, …, Bn-2, Bn-1, Bn

На каждом из отрезков [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] (эти отрезки в отличие от всего отрезка [a,b] называют частичными отрезками) выберем по одной точке (необязательно в центре отрезка), обозначив их, соответственно, с1, с2, с3, …, сn-2, сn-1, сn.
Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.

Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках ci , где индекс i – номер частичного отрезка (1, 2, 3, …, n), на величины Δxi=xi-xi-1 соответствующих отрезков:

или, в сокращенной записи

где символ
означает суммирование по индексу i , последовательно изменяющемуся от 1 до n включительно.

Сумма In называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке [a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом:

Функция f(x) – подынтегральная функция,
x – переменная интегрирования.
Числа a и b (границы отрезка [a,b]) называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Неопределенный интеграл – это семейство первообразных функций;
Определенный интеграл – число!
Основное отличие определенного интеграла от неопределенного:

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, т.е. плоской фигуры, ограниченной сверху графиком непрерывной функции у= f(x) , снизу – осью абсцисс, слева – прямой линией x=a, справа – прямой линией x=b.
Геометрический смысл определенного интеграла:

5. Свойства определенного интеграла

Формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

6. Основные методы вычисления определенных интегралов

Обратите внимание:
1) при замене переменной соответствующим образом изменяют и пределы интегрирования (cos 0 = 1; cos (π/2) = 0);
2) если замена переменной и пределов интегрирования выполнена правильно, то нет необходимости возвращаться к исходной переменной x (нам необходимо получить число, которое будет одинаковым в обоих случаях).