Софизмы и парадоксы

Введение:
«Дважды два равно пяти», «Два равно трём»-каждый из нас слышал хоть раз в жизни.
На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логические объяснения или же это вымысел? Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в нашей работе, название которой – математические софизмы. Неслучайно мы выбрали именно математические софизмы (хотя бывают и логические и словесные). Они, как нам кажется, более интересны, имеют чёткое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.
Это тема сейчас актуальна, потому что софизм- это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Объект исследования:
Логика в математике
Предмет исследования:
Софизмы и парадоксы

Цель исследования:
Установить связь между софистикой, парадоксами и математикой.
Проанализировать их влияние на развитие логики.
Задачи исследования:
Всесторонний анализ понятия «софизма».
2. Что такое парадокс?
3. Как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях.
4. Классификация софизмов.
5. Составить альбом софизмов.

Что такое софизм?
Преднамеренная ошибка
совершаемая с целью
запутать противника и
выдать ложное суждение
за истинное

Математический софизм – удивительное утверждение,
в доказательстве которого кроются незаметные,
а подчас и довольно тонкие ошибки.
Мартин Гарднер
Софизм всегда содержит одну или
несколько замаскированных ошибок.
Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления

История софизма
Софизмы существуют и обсуждаются
более двух тысячелетий, причём острота их
обсуждения не снижается с годами.
Возникновение софизмов обычно связывается
с философией софистов, которая их обосновала
и оправдывала.
Термин «софизм» впервые ввёл Аристотель,
охарактеризовавший софистику как мнимую,
а не действительную мудрость.

История парадокса

Софистика – это искусство ведения спора
Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры.
В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками.
И. Ньютон
Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.
Б. Паскаль
Правильно понятая ошибка-это путь к открытию. И.П.Павлов
Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.
Л. Эйлер

Арифметические софизмы -
это числовые выражения
имеющие неточность или ошибку,
не заметную с первого взгляда.

1=2. Никто не станет возражать, что 3-1=6-4. Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4, И замечаем что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2 . Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем 1=2. Один рубль не равен ста копейкам. 1 р.= 100 коп. 10 р.= 1000 коп. Умножим обе части этих верных равенств, получим: 10 р.= 100000 коп., откуда следует: 1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп.
1=2.
Никто не станет возражать,
что 3-1=6-4.
Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4, И замечаем что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2 . Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем
1=2.

Один рубль не равен ста копейкам.
1 р.= 100 коп.
10 р.= 1000 коп.
Умножим обе части этих верных равенств, получим:
10 р.= 100000 коп., откуда следует:
1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп

Логические софизмы

Алгебраические софизмы -
это намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

4:4=5:5-верное равенство
После вынесения за скобки общего множителя
из каждой части равенства будем иметь:
4*(1:1)=5*(1:1) или (2*2)*(1:1)=5*(1:1)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения
4*(1:1)=5*(1:1)
устанавливаем: 2*2= 5
Где ошибка?

парадокс парикмахера
В деревне только один парикмахер, но он бреет тех, и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами, должен ли он брить самого себя?
Мудрец ответил:
- Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям деревни, которых он должен брить. Значит, он должен себя брить. Если же он себя бреет, то он не относится к тем жителям своей своей деревни, которых он должен брить. Значит, он не должен себя брить. Вот и весь ответ на ваш вопрос.
- Как же так, - продолжали спрашивать мудреца. - Если парикмахер себя не бреет, то он должен брить, а если он себя бреет, то не должен брить?

Моим одноклассникам были предложены следующие задания:
1.10-10=0; 15-15-0 следовательно 10-10=15-15, 2*(5-5)=3*(5-5), 2=3
2. Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога есть.
З. Дважды два-пять!
4. Полупустое есть тоже, что полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые.
Следовательно, пустое есть тоже, что и полное.
На эти софизмы надо было ответить:
Ошибка в том, что на нуль делить нельзя.
Если у тебя нет рогов , ты не сможешь их потерять.
В преобразования, разумеется закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведённых в квадрат: они могут быть противоположны друг другу. А квадраты этих значений одинаковы.
Ясно, что приведённое рассуждение неверно, т.к. в нём применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.

В анкетирование приняло участие 27 учеников.
Первый софизм: правильно ответил один ученик, неправильно ответило 26 учеников.
Второй софизм: правильно ответили 11 учеников,
неправильно ответило 16 учеников.
Третий софизм: правильно ответило 2 ученика,
неправильно ответило 25 учеников.
Четвёртый софизм: правильно ответили 4 ученика,
неправильно ответило 23 ученика.

Основные ошибки в софизмах
• деление на 0;
• неправильные выводы из равенства дробей;
•неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• нарушения правил действия с именованными величинами;
• путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• неравносильный переход от одного неравенства к другому;
• выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
• ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Вывод
Ценным является то, что в ходе такой работы обогащается культура мышления ученика, общая культура, развивается интеллект. Оценка деятельности ученика и самооценка сближаются на основе тезиса: не то ценно, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил ее.
Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления.
Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

ученики 7 в класса
Дмитриева Марианн
Эйниев Руслан
Ученики 6а класса
Подсекалов Никита
Кручинина Алена
Щукина Виктория
Над проектом работали:
Руководитель проекта
Подбельская Т.А.

спасибо
за
внимание