Геометрические места точек

Упражнение 1
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, равное 2. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 2
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, меньшее 2. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 3
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, большее 2 и меньшее 3. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 4
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше трех. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 5
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше или равны двум. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 6
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше трех, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 7
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше двух, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).

Упражнение 8
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.

Упражнение 9
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.

Упражнение 10
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.

Упражнение 11
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.

Упражнение 12
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.

Упражнение 13
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.

Упражнение 14
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.

Упражнение 15
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 135о.

Серединный перпендикуляр
Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка.
Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру.
Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.
Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.

Упражнение 1
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

Упражнение 2
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.

Упражнение 3
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

Упражнение 4
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.

Упражнение 5
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

Упражнение 6
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.

Упражнение 7
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Упражнение 8
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Упражнение 9
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Упражнение 10
Изобразите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.

Упражнение 11
Изобразите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.

Упражнение 12
Пусть А и В - точки плоскости. Укажите геометрическое место точек С, для которых АС ВС.

Упражнение 13
Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Укажите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?

Биссектриса угла
Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.
Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b.

Упражнение 1
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Упражнение 2
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Упражнение 3
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Упражнение 4
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Упражнение 5
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Упражнение 6
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Упражнение 7
Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых?
Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.

Упражнение 8
Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми;
б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами.
Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.

Упражнение 9
На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон.
Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.

Упражнение 10
Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.

Пересечение фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

Упражнение 1
Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

Упражнение 2

Упражнение 3
Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Объединение фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

Упражнение 1
Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.

Упражнение 2
Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Разность фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \ Ф2.