Интегрирование рациональных функций

План лекций
1.Интегрирование дробно-рациональных функций
2.Интегрирование тригонометрических функций
3.Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов , где n, m – степени многочленов.
Если n
Если дробь неправильная, то из нее нужно сначала выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель

Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов: , , , ,
где А, В, С, a, p, q – любые числа, kN, k>1.
Дроби первых двух типов интегрируются непосредственно ;
Для интегрирования дроби третьего и четвертого типов нужно выделить полный квадрат в знаменателе и затем сделать замену переменной.

Пример

Интегрирование тригонометрических функций.
1. Интегралы вида , ,
вычисляются с помощью формулы: ,
,
2. Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел
m и n – нечетное положительное, k и второе число – любое,
вычисляются подведением под знак дифференциала.

3. Интегралы вида , где m и n – четные положительные числа (одно из них может равняться нулю) k – любое число, вычисляются с помощью формул понижения степени:
, ,
4. Интегралы вида и , где m – натуральное, k – любое число, вычисляются заменой переменной: tgkx=z или ctgkx=z.
5. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда x=2arctgz; ; ; ; ;

Интегрирование простейших иррациональных функций
1. Интегралы вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3 – го вида: в знаменателе выделяются полный квадрат и вводится новая переменная.
2. Интегралы вида вычисляются с помощью замены переменной , где s – наименьшее общее кратное чисел n1, n2, …, nk; a, b, c, d – числа (c и d не равны нулю одновременно).
В частности, корень под знаком интеграла может быть один.

3. Интегралы вида , ,
вычисляются с помощью тригонометрических подстановок соответственно:
1. x=asinz; dx=acoszdz.
2. x=atgz; .
3. .

Пример(вычисление с помощью тригонометрических
подстановок).

Задание на СРС
Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.(конспект) [1,2].
Задание на СРСП
1. ИДЗ-8.2., 8.3 [1. – стр.57].

Глоссарий