Муниципальное нетиповое общеобразовательное учреждение «Лицей» Учебный проект «Применение математических функций в жизни чел

Введение
Мы поставили перед собой задачу выявить и изучить области, в которых применяется функция и её свойства.
Мы предположили, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека.
Сейчас мы попытаемся это доказать.

История развития понятия функции
с древнейших времён до 17 века
- задание функции: площадь круга является функцией от радиуса (вавилонские учёные)
- табличное задания функции: астрономические таблицы (вавилоняне, индийцы, древние греки)
- словесное задание функции: теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре

Франсуа Виет (1540 – 1603гг.)
История развития понятия функции
в 17 веке
Рене Декарт
(1596-1650гг.)
Пьер Ферма (1602-1665гг.)

Декарт Рене,
Франсуа Виет
Декарт Рене,
Ферма Пьер
Декарт Рене
- понятие функции
представление кривые в виде
уравнений
единая буквенная математическая символика: x, y, z, a, b, c, .. и т. д
переменная величина
прямоугольная система координат
Основные понятия:

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
Функция (от лат. Functio – совершение, выполнение)
– отрезок, длина которого меняется по какому- нибудь определенному закону.
– впервые ввёл термины «константа» и «переменная»
Аналитическое определение функции

Основные понятия:
применил знак для х- (х)
- Впервые сделал подход к аналитической функции
Иоганн Бернули (1667-1748гг.)
Леонард Эйлер
Основные понятия:
- вывел окончательную формулировку определения: функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким либо способом из этого количества и чисел или постоянных количеств.

Основные понятия:
Сформулировал общее определение понятия функции. Примером является функция Дирихле
Дирихле Петер Густав Лежён
Функция Дирихле:

Определение функции с помощью теории множеств
Если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у=f(x), или что множество А отображено на множестве В.

Определение функции в школьной программе
7 класс
Линейная функция: ,
8 класс
Квадратичная функция: ,
9 класс
Дробно-линейная функция:
Степенная функция:
10-11 класс
Числовая функция: ,

Применение функций в точных науках
Физика
Астрономия
Звук
Графики зависимости физических величин,
Звёздный график, Параболоиды, Отображение
звуковых волн с помощью периодической функции.
Оптика

Линейная функция
График равномерного прямолинейного движения.
Физика.
Зависимость силы тока I от напряжения U для 3 резисторов.
I – cила тока
U – напряжение
R1,R2,R3 – сопротивление
y=kx+b, графиком является прямая.

Квадратичная функция
График равноускоренного прямолинейного движения
Физика.
Потенциальная энергия.
Потенциальная энергия — минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести тело из некой точки отсчёта в данную точку

Параболоидические зеркала:
Линза (прибор коррекции зрения)
Увеличительное стекло
Отражательный телескоп – рефлектор
Прожектор или фара автомобиля
Параболоид - тип поверхности, образованный
С помощью вращения параболы вокруг своей оси.
Оптика. Параболоиды

Периодическая функция
Звук, колебания за просторами Земли.
Для описания относительных временных свойств двух звуковых волн (или разных частей одной волны) вводится понятие фазы звуковой волны.
Фазы звуковой волны.
F(x)=F(x±nT)

Логарифмическая функция
и
равносильны.
Записи

Ось абсцисс – показания приборов (за масштабную единицу примем блеск звезды «Б Тельца» )
Ось ординат – блеск звёзд в единицах Гиппарха.
Звёздный график

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ

Задача
На территории посёлка Малиновка обитала популяция синиц, численность которой
составляла 70 особей. Проанализируйте динамику численности
популяции синиц за период с 2001 по 2006 год, если известно, что рост
численности популяции вычисляется по формуле:
N=(N0R)/(1+(aN0)b), где
N0 - начальная численность популяции
N - динамика численности популяции
R - фактор выживаемости, рождаемости
b - падение скорости численности популяции
a - фактор сдерживания роста популяции
Рис.1
200

Функциональное описание реальных процессов
Почему не бывает животных, какой угодно величины?
Почему, например, нет слонов в три раза больше своего роста, но тех же пропорций?
Рис.2
y=a3 – куб размера
y=b2 – квадрат размера

Функциональные зависимости в химии
Рис.3

Применение в биологии и химии показательной функции
Показательной функцией называется функция вида у = ax, где х – независимая переменная , a – число, a > 0, a ≠ 1
Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.
Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014.
Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0 e-kt , где: М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.
Рис.4
Рис.5

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ В ИСТОРИИ И ФИЛОЛОГИИ

Пример изображения исторических закономерностей
y = 2x
x -1 0 1 2 3
y 0,5 1 2 4 8
«График информационного бума» является графиком показательной функции
(y = ax )

Графики пословиц
«Каши маслом не испортишь»
«Пересев хуже недосева»

«Чем дальше в лес,
тем больше дров»
«Горяч на почине, да скоро остыл»

«Каково проживёшь,
такую славу наживёшь»
расстояние до кумы
м е р а
г р е х а
«Дальше кумы – меньше греха»

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ
В ЖИЗНИ

Функция потребительского спроса
Пусть функция
q=-3p+12,
количество товара – q, цена p за единицу товара. При этом 0

Производственная функция
Зависимость между объемом производства товара и ресурсами (факторами производства), необходимыми для получения этого товара.
Y = F (L, K, etc.),
где Y - объем производства; L - труд; К – капитал.

Функция полезности
Зависимость, которая связывает полезность как результат некоторого действия с уровнем (интенсивностью) этого действия.
u = u (x1, x2, ..., xn),
где x1, ..., xn — факторы, влияющие на полезность u.

Статистика
Демография рождаемости и смертности в Хакасии за 5 лет

Естественный прирост – статистика, которая следует из графика смертности и рождаемости.

Дни солнцестояния
Почему в марте долгота дня меняется быстро, а в июне и декабре – медленно?
С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта

Задача №1
Человек кидает мяч. Какую скорость, траекторию он ему сообщает?
Ответ: Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха соответствует параболе.

Задача №2
Какую траекторию полёта имеют космические тела и почему?
Ответ: Траектория в форме параболы. Потому что при своей большой скорости и малом весе они не захватываются гравитационным полем других космических тел.

Задача №3
Какую форму принимает поверхность жидкости при вращении тонкого прямоугольного сосуда вокруг своей вертикальной оси?
Ответ: Форму параболы.

С мороза в комнату внесли банку со льдом. Как измениться его температура с течением времени?
Глядя на график, мы можем увидеть, что лёд вначале согреется до температуры 0 градусов, а потом будет нагреваться до того, пока его температура не будет равна комнатной.
График таяния льда

Таблица стоимости проезда
Представлена таблица стоимости проезда в пригородном транспорте, где
n – номер зоны;
m – стоимость проезда.
n зависит от m или m от n?
Так как чем больше номер зоны, тем больше проезд, то n независимая переменная, а m – зависимая. Здесь прямая зависимость.

Заключение
Подведём итоги всего вышесказанного.
Мы рассмотрели основные области применения функции и её свойства.
Мы надеемся, что наш проект убедил вас в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом.