Начальные геометрические сведения 7 класс

I.Точки, прямые, отрезки.
1. Взаимное расположение точек и прямых.
«точка А лежит на прямой а»: А а
«точка В не лежит на прямой а»: В а

2.Свойства прямой:
- какова ни была прямая, существуют точки принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
- через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

3. Взаимное расположение прямых:
две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек;
если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются (а ∩ b = О).

4. Взаимное расположение точек на прямой.
Точка С лежит между точками А и В.

5. Отрезок.
Часть прямой, ограниченной двумя точками, называется отрезком.
Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.
Отрезок АВ содержит точки А и В и все внутренние точки отрезка, лежащие между А и В.

Упражнения.
1. Назовите точки принадлежащие прямой а и не принадлежащие ей.
2. Сколько прямых можно провести через точки К и В?
3. Пересекаются ли:
а) прямая а и отрезок АD;
б) прямая а и отрезок СМ?

II. Провешивание прямой на местности.
«Провешивание» от слова «веха». Широко используется на практике, например при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линии высоковольтных передач и т. д.

III. Луч.
Лучом называется часть прямой, состоящая из всех точек, которые лежат по одну сторону от фиксированной точки прямой, и самой этой точки, называемой началом луча.
Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными.

Изображение луча.

IV. Угол.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
О – вершина угла,
а, b – стороны угла.
Развёрнутый угол.

V. Равенство геометрических
фигур.
Две геометрические фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

VI. Сравнение отрезков и углов.
1. Отрезки.

2. Углы.

Луч ВD – биссектриса угла АВС
АВD = DВС

VII. Длина отрезка
Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Длина отрезка АВ называется расстоянием между двумя точками А и В.

Точка С – середина отрезка АВ, точка D – середина отрезка АС, ВD=15,3 см. Найдите длину отрезка АС и выразите её в миллиметрах.
Задача.
Дано: АВ – отрезок,
АС = СВ, АD = DС,
ВD = 15,3 см
----------------------------------------
Найти: АС.

Решение:
1. АС = СВ (по условию),
АД = ДС (по условию), значит АС = 2АД и СВ = 2АД.
2. АВ = АС + СВ = 4АД.
3. ДВ = АВ – АД
ДВ = 4АД – АД
ДВ = 3АД
15,3 = 3АД
АД = 15,3 : 3 = 5,1 (см)
4. АС = 2 · 5,1 = 10,2 (см)
Ответ: АС = 10,2 см = 102 мм.

VIII. Единицы измерения.
1. Стандартная единица измерения.
2. Миллиметр, сантиметр, дециметр, километр.
3. Морская миля (1,852 км), световой год.
4. Аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м).

Измерительные инструменты.

IX. Градусная мера угла.
Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.
Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.
Равные углы имеют равные градусные меры.
Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Упражнения.
Дано: АВD = 73 ,
а СВD = 23.
----------------------------
Найти: величину угла АВС.

Задача.
Угол АВС равен 100 . Между его сторонами провели луч ВD так, что один угол оказался в 4 раза больше другого, найдите эти углы.
Дано: АВС = 100 ,
ДВС в 4 раза > АВД
------------------------------------------
Найти: АВД, ДВС.

Решение:
1. Пусть угол АВD равен x градусов
тогда угол DВС равен 4х градусов.
2. Составим уравнение:
х + 4х = 100
5х = 100
х = 20
3. 20 · 4 = 80
Ответ: АВD = 20 , DВС = 80 .

Различные виды углов.

X. Смежные и вертикальные углы.
1. Смежные углы.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Сумма смежных углов равна 180 .

2. Вертикальные углы.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Вертикальные углы равны.