Основные позиционные задачи

Содержание

Слайд 2

При решении позиционных задач выясняют

взаимное расположение (позицию) двух и большего числа геометрических

При решении позиционных задач выясняют взаимное расположение (позицию) двух и большего числа
фигур

Понятие взаимное расположение включает также принадлежность одной фигуры другой

При этом возможны случаи:

1) полной принадлежности:

– двух плоскостей ∑∩θ

– прямой с плоскостью, поверхностью ℓ∩∑

2) пересечения:

– прямая принадлежит плоскости ℓ∊Ф;
- точка принадлежит плоскости А∊Ф

– точка принадлежит прямой А∊ℓ;

– плоскости с поверхностью;

– двух поверхностей;

Слайд 3

Две геометрические фигуры, пересекаясь, дают общий элемент:

Прямая с прямой – точку (а∩b⇒К)
Прямая

Две геометрические фигуры, пересекаясь, дают общий элемент: Прямая с прямой – точку
с плоскостью – точку (a∩∑⇒К)
Прямая с поверхностью – одну или несколько точек (a∩∑⇒К, М…)
Плоскость с плоскостью – прямую линию (∑∩θ⇒m)

Плоскость с поверхностью – плоскую кривую или плоскую ломаную (∑∩Ф⇒a)
Поверхность с поверхностью – пространственную кривую или несколько пространственных кривых, которые в свою очередь, могут состоять из плоских кривых или плоских ломаных (∑∩θ⇒m)

Слайд 4

Σ

1.Пересечение прямой с проецирующей плоскостью

 

n2

Σ 1.Пересечение прямой с проецирующей плоскостью n2

Слайд 5

А2

В2

С2

12

22

D2

А1

С1

В1

21

11

ℓ2

k2

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

ℓ⊥П1- фронтально ПР
(АВС) пл ОП

32≡

А2 В2 С2 12 22 D2 А1 С1 В1 21 11 ℓ2
42

41

≡D1

ℓ1

≡31

( )

ℓ∩(АВС)=D
Проецирующее положение прямой позволило определить одну из проекций искомой точки

k1

Слайд 6


x

A1

C1

B1

A

0

B

C

x

∑1

∑2

∑1

А1

А2

В1

С1

В2

С2

K1

L1

K2

L2

K1L1 ≡ ∑1

∑1∩(АВС)=KL

П2

П1

3. Пересечение плоскости общего положения
с проецирующей плоскостью

 

 

x A1 C1 B1 A 0 B C x ∑1 ∑2 ∑1

Слайд 7

Алгоритм решения задачи:

A1

C1

B1

A

D1

1.Прямая заключается во вспомогательную плоскость
ℓ⊂θ⊥П1


θ1

C

θ

k

3.Отмечается искомая точка на пересечении данной

Алгоритм решения задачи: A1 C1 B1 A D1 1.Прямая заключается во вспомогательную
прямой с линией пересечения плоскостей
k∩ℓ=D

2.Определяется линия пересечения заданной плоскости со вспомогательной
θ∩∑(АВС)= k

D

4.Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

ℓ1

θ1 ℓ1


B

Слайд 8

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Σ

m

Через данную прямую m

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения Σ m Через данную
проводят вспомогательную плоскость Θ .
Находят линию пересечения 1-2 плоскостей: заданной Σ и вспомога-тельной Θ . 3. На полученной линии пресечения 1-2 находят общую точку К с заданной прямой m . 4. Определяют видимость прямой m

Алгоритм:

1. m∈Θ

2. Θ ∩ Σ = 1-2

3. 1-2 ∩ m = K

4. Видимость m

Слайд 9

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

m1

m2

Видимость горизонтальной проекции прямой определяют

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m1 m2 Видимость горизонтальной
по горизон-тально конкурирующим точками 3 и 2 (3∈m; 2∈Σ ). Видимость фронталь-ной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точка-ми 4 и 5 (4∈m; 5∈Σ ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения

21

Видимость m
(по конкурирующим точкам)

(21)

( )

m∈ Θ;
Θ ⊥ П1 ⇒ Θ1∈m1

Θ ∩ Σ(Δ)=1-2;
1121 → 1222

Слайд 10

Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей
Используется для решения позиционных задач
Секущие плоскости выбирают

Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей Используется для решения позиционных задач Секущие
так, чтобы в сечении получались графически простые линии
В качестве секущих удобно использовать плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня)

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Слайд 11

Пересечение двух плоскостей общего положения

Способом вспомогательных секущих плоскостей найдем две точки,

Пересечение двух плоскостей общего положения Способом вспомогательных секущих плоскостей найдем две точки,
опре-деляющие линию MN пересечения заданных плоскостей Σ и Θ. Плоскость Р пересекает плоскость Θ по прямой 1-2, а плоскость Σ – по прямой 3-4. При пересечении полученных прямых определяем первую точку М

P

Σ

Алгоритм:

2. P ∩ Σ = 3- 4

3. 1-2 ∩ 3- 4 = M

Р- вспом. пл-ть

1. P ∩ Θ = 1-2

Θ

Слайд 12

Пересечение двух плоскостей общего положения

Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает заданную плоскость

Пересечение двух плоскостей общего положения Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает заданную плоскость
Θ по прямой 5-6, а заданную плоскость Σ – по прямой 7-8. На пересечении полученных прямых определяем вторую точку N искомой линии MN пересечения заданных плоскостей Σ и Θ

Θ

P

Σ

T

Алгоритм:

2. P ∩ Σ = 3- 4

3. 1-2 ∩ 3- 4 = M

1. P ∩ Θ = 1-2

Р- вспом. пл-ть

2. Т ∩ Σ = 7- 8

3. 5- 6 ∩ 7- 8 = N

N ∪ M – искомая прямая

Т- вспом. пл-ть

1. Т ∩ Θ = 5 - 6

Слайд 13

Пересечение двух плоскостей общего положения

Алгоритм:

2. P∩Σ(KF∩FE)=3- 4

3. 1-2 ∩ 3- 4

Пересечение двух плоскостей общего положения Алгоритм: 2. P∩Σ(KF∩FE)=3- 4 3. 1-2 ∩
= M

1. P∩Θ(ΔАВС)=1-2

Р- вспом. пл-ть

F1

А2

В2

С2

А1

С1

В1

F2

K2

E2

K1

E1

Проецирующая плоскость Р(Р2 ) пересекает плоскость Θ(ΔАВС) по прямой 1-2, а плоскость Σ(KF∩FE) – по прямой 3-4. Определив фронтальные про-екции прямых 1222 и 3242 , находят общую точку М1 на пересечении их горизонтальных проекций. Точка М2 лежит на следе плоскости Р(Р2 )

Слайд 14

Пересечение двух плоскостей общего положения

Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает данные плоскости

Пересечение двух плоскостей общего положения Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает данные плоскости
по прямым 5-6 и 7-8, на пересечении которых определяется вторая точка N искомой линии MN. Точки М и N лежат в соответствующих секущих плос-костях и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям Σ и Θ

Алгоритм:

Р- вспом. пл-ть

F1

А2

В2

С2

А1

С1

В1

F2

K2

E2

E1

K1

2. Т∩Σ(KF∩FE)= 7- 8

3. 5- 6 ∩ 7- 8 = N

N ∪ M – искомая прямая

Т- вспом. пл-ть

1. Т∩Θ(ΔАВС)=5 - 6

2. P∩Σ(KF∩FE)=3- 4

1. P∩Θ(ΔАВС)=1-2

3. 1-2 ∩ 3- 4 = M

Слайд 15

А2

В2

С2

С1

В1

А1

m2

m1

ℓ1

ℓ2

Ω2

ΩI2

12

22

32

42

52

62

72

82

11

51

21

61

31

41

81

71

M1

N1

∑(AB∩BC)

θ (m ll ℓ)

N2

M2

Построить линию пересечения плоскостей ∑ и θ

Задача

∑ ∩

А2 В2 С2 С1 В1 А1 m2 m1 ℓ1 ℓ2 Ω2 ΩI2
θ = MN

Ω2 ∩ ∑ = 1,2;

Ω2 ∩ θ = 3,4;

1,2 ∩ 3,4 = N;

ΩI2 ∩ ∑ = 5,6;

ΩΙ2 ∩θ = 7,8;

5,6 ∩ 7,8 = M;

Слайд 16

А2

В2

С2

12

22

D2

А1

С1

В1

21

11

D1

ℓ2

θ2≡

k2≡

k1

ℓ1

θ2⊂ℓ2;

31

≡32

θ2∩(А2В2С2)=k2 ;

k1∩ℓ1=D1;

ℓ∩(ABC)=D

Задача

Найти точку пересечения прямой ℓ с плоскостью ∆

(

А2 В2 С2 12 22 D2 А1 С1 В1 21 11 D1
)

Слайд 17

11≡ 21

( )

A2

B2

C2

C1

B1

A1

22

12

K2

K1

b1

b2

M2

M1

a2

a1

α1

11

21

12≡ 22

( )

(Плоскость задана следом)

Пересечение прямой общего положения
с проецирующей

11≡ 21 ( ) A2 B2 C2 C1 B1 A1 22 12
плоскостью
Имя файла: Основные-позиционные-задачи.pptx
Количество просмотров: 29
Количество скачиваний: 0