Основные позиционные задачи

При решении позиционных задач выясняют
взаимное расположение (позицию) двух и большего числа геометрических фигур
Понятие взаимное расположение включает также принадлежность одной фигуры другой
При этом возможны случаи:
1) полной принадлежности:
– двух плоскостей ∑∩θ
– прямой с плоскостью, поверхностью ℓ∩∑
2) пересечения:
– прямая принадлежит плоскости ℓ∊Ф;
- точка принадлежит плоскости А∊Ф
– точка принадлежит прямой А∊ℓ;
– плоскости с поверхностью;
– двух поверхностей;

Две геометрические фигуры, пересекаясь, дают общий элемент:
Прямая с прямой – точку (а∩b⇒К)
Прямая с плоскостью – точку (a∩∑⇒К)
Прямая с поверхностью – одну или несколько точек (a∩∑⇒К, М…)
Плоскость с плоскостью – прямую линию (∑∩θ⇒m)
Плоскость с поверхностью – плоскую кривую или плоскую ломаную (∑∩Ф⇒a)
Поверхность с поверхностью – пространственную кривую или несколько пространственных кривых, которые в свою очередь, могут состоять из плоских кривых или плоских ломаных (∑∩θ⇒m)

Σ
1.Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
n2

А2
В2
С2
12
22
D2
А1
С1
В1
21
11
ℓ2
k2
2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
ℓ⊥П1- фронтально ПР
(АВС) пл ОП
32≡ 42
41
≡D1
ℓ1
≡31
( )
ℓ∩(АВС)=D
Проецирующее положение прямой позволило определить одну из проекций искомой точки
k1

x
A1
C1
B1
A
0
B
C
x
∑1
∑2
∑1
А1
А2
В1
С1
В2
С2
K1
L1
K2
L2
K1L1 ≡ ∑1
∑1∩(АВС)=KL
П2
П1
3. Пересечение плоскости общего положения
с проецирующей плоскостью

Алгоритм решения задачи:
A1
C1
B1
A
D1
1.Прямая заключается во вспомогательную плоскость
ℓ⊂θ⊥П1
ℓ
θ1
C
θ
k
3.Отмечается искомая точка на пересечении данной прямой с линией пересечения плоскостей
k∩ℓ=D
2.Определяется линия пересечения заданной плоскости со вспомогательной
θ∩∑(АВС)= k
D
4.Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
ℓ1
θ1 ℓ1
≡
B

Пересечение прямой общего положения
с плоскостью общего положения
Σ
m
Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость Θ .
Находят линию пересечения 1-2 плоскостей: заданной Σ и вспомога-тельной Θ . 3. На полученной линии пресечения 1-2 находят общую точку К с заданной прямой m . 4. Определяют видимость прямой m
Алгоритм:
1. m∈Θ
2. Θ ∩ Σ = 1-2
3. 1-2 ∩ m = K
4. Видимость m

Пересечение прямой общего положения
с плоскостью общего положения
m1
m2
Видимость горизонтальной проекции прямой определяют по горизон-тально конкурирующим точками 3 и 2 (3∈m; 2∈Σ ). Видимость фронталь-ной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точка-ми 4 и 5 (4∈m; 5∈Σ ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения
21
Видимость m
(по конкурирующим точкам)
(21)
( )
m∈ Θ;
Θ ⊥ П1 ⇒ Θ1∈m1
Θ ∩ Σ(Δ)=1-2;
1121 → 1222

Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей
Используется для решения позиционных задач
Секущие плоскости выбирают так, чтобы в сечении получались графически простые линии
В качестве секущих удобно использовать плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня)
Способ вспомогательных секущих
плоскостей

Пересечение двух плоскостей
общего положения
Способом вспомогательных секущих плоскостей найдем две точки, опре-деляющие линию MN пересечения заданных плоскостей Σ и Θ. Плоскость Р пересекает плоскость Θ по прямой 1-2, а плоскость Σ – по прямой 3-4. При пересечении полученных прямых определяем первую точку М
P
Σ
Алгоритм:
2. P ∩ Σ = 3- 4
3. 1-2 ∩ 3- 4 = M
Р- вспом. пл-ть
1. P ∩ Θ = 1-2
Θ

Пересечение двух плоскостей
общего положения
Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает заданную плоскость Θ по прямой 5-6, а заданную плоскость Σ – по прямой 7-8. На пересечении полученных прямых определяем вторую точку N искомой линии MN пересечения заданных плоскостей Σ и Θ
Θ
P
Σ
T
Алгоритм:
2. P ∩ Σ = 3- 4
3. 1-2 ∩ 3- 4 = M
1. P ∩ Θ = 1-2
Р- вспом. пл-ть
2. Т ∩ Σ = 7- 8
3. 5- 6 ∩ 7- 8 = N
N ∪ M – искомая прямая
Т- вспом. пл-ть
1. Т ∩ Θ = 5 - 6

Пересечение двух плоскостей
общего положения
Алгоритм:
2. P∩Σ(KF∩FE)=3- 4
3. 1-2 ∩ 3- 4 = M
1. P∩Θ(ΔАВС)=1-2
Р- вспом. пл-ть
F1
А2
В2
С2
А1
С1
В1
F2
K2
E2
K1
E1
Проецирующая плоскость Р(Р2 ) пересекает плоскость Θ(ΔАВС) по прямой 1-2, а плоскость Σ(KF∩FE) – по прямой 3-4. Определив фронтальные про-екции прямых 1222 и 3242 , находят общую точку М1 на пересечении их горизонтальных проекций. Точка М2 лежит на следе плоскости Р(Р2 )

Пересечение двух плоскостей
общего положения
Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает данные плоскости по прямым 5-6 и 7-8, на пересечении которых определяется вторая точка N искомой линии MN. Точки М и N лежат в соответствующих секущих плос-костях и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям Σ и Θ
Алгоритм:
Р- вспом. пл-ть
F1
А2
В2
С2
А1
С1
В1
F2
K2
E2
E1
K1
2. Т∩Σ(KF∩FE)= 7- 8
3. 5- 6 ∩ 7- 8 = N
N ∪ M – искомая прямая
Т- вспом. пл-ть
1. Т∩Θ(ΔАВС)=5 - 6
2. P∩Σ(KF∩FE)=3- 4
1. P∩Θ(ΔАВС)=1-2
3. 1-2 ∩ 3- 4 = M

А2
В2
С2
С1
В1
А1
m2
m1
ℓ1
ℓ2
Ω2
ΩI2
12
22
32
42
52
62
72
82
11
51
21
61
31
41
81
71
M1
N1
∑(AB∩BC)
θ (m ll ℓ)
N2
M2
Построить линию пересечения плоскостей ∑ и θ
Задача
∑ ∩ θ = MN
Ω2 ∩ ∑ = 1,2;
Ω2 ∩ θ = 3,4;
1,2 ∩ 3,4 = N;
ΩI2 ∩ ∑ = 5,6;
ΩΙ2 ∩θ = 7,8;
5,6 ∩ 7,8 = M;

А2
В2
С2
12
22
D2
А1
С1
В1
21
11
D1
ℓ2
θ2≡
k2≡
k1
ℓ1
θ2⊂ℓ2;
31
≡32
θ2∩(А2В2С2)=k2 ;
k1∩ℓ1=D1;
ℓ∩(ABC)=D
Задача
Найти точку пересечения прямой ℓ с плоскостью ∆
( )

11≡ 21
( )
A2
B2
C2
C1
B1
A1
22
12
K2
K1
b1
b2
M2
M1
a2
a1
α1
11
21
12≡ 22
( )
(Плоскость задана следом)
Пересечение прямой общего положения
с проецирующей плоскостью