Проекция плоскости

Способы задания плоскости
На комплексном чертеже плоскость  можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;

Способы задания плоскости
5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадле-жащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках
След плоскости – это линия ее пересечения с соответствующей плоскостью проекций

Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций
Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций
Горизонтально проецирующая плоскость  П1
Фронтально проецирующая плоскость  П2 Профильно проецирующая плоскость  П3
Горизонтальная плоскость  П1
Фронтальная плоскость  П2
Профильная плоскость П3
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью:
Плоскость, параллельная плоскости проекций, назы-вается плоскостью уровня (дважды проецирующей):

Горизонтально проецирующая плоскость (П1)
Пространственная картина
Комплексный чертеж
y
z
Горизонтальная проекция плоскости  вырождается в прямую (след), на П1 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на горизонталь-ном следе плоскости 1 . Углы наклона данной плоскости  к фронталь-ной () и профильной () плоскостям проекций на П1 не искажаются




Фронтально проецирующая плоскость (П2)
Комплексный чертеж
y
z
Пространственная картина



Фронтальная проекция плоскости  вырождается в прямую (след). На П2 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на фронтальном следе плоскости 2 . Углы наклона данной плоскости  к горизонталь-ной () и профильной () плоскостям проекций на П2 не искажаются

Профильно проецирующая плоскость (П3)
Комплексный чертеж
z
Пространственная картина



Профильная проекция плоскости  вырождается в прямую (след). На П3 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на профильном следе плоскости 3 . Углы наклона данной плоскости  к горизонталь-ной () и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П3 не искажаются

Горизонтальная плоскость уровня ( П1)
Комплексный чертеж
z

Пространственная картина
В силу параллельности следы (фронтальный 2 и профильный 3 ) плоскости  будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость  , проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций

Фронтальная плоскость уровня ( П2)
Комплексный чертеж
z
Пространственная картина

В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и профильный 3 ) плоскости  будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость  , изображается в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций

Профильная плоскость уровня ( П3)
Комплексный чертеж
z
Пространственная картина

В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и фронтальный 2 ) плоскости  будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость  , проецируется в натуральную величину на профильную плоскость проекций

Принадлежность прямой плоскости
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
через две точки этой плоскости;
2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости
(n m)
1
(1m); (2n)
а(1 И 2)  а
2
(n  m)
(1m); 1b
b n  b

Принадлежность точки плоскости
Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением:
1) при чтении чертежа;
2) при построении точки, лежащей в данной плоскости
(1АС)
П1: (D1 ИA1)С1В1 =31
(АВС)
1
П2: 32  C2B2
1,2 - ?
А2 И 32
D2  А232

Принадлежность прямой и точки плоскости
Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом.
Это собирательное свойство проецирующих плоскостей
  П1
x
  П2
x

Главные линии плоскости
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В и 1 )

Горизонталей плоскости бесчисленной множество,
все они параллельны между собой
Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня
x

Главные линии плоскости

Фронталей плоскости бесчисленное множество,
все они параллельны между собой
Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня
Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки (например, В и 2 )
x

Главные линии плоскости
  П1
x
 П2
x
В проецирующих плоскостях одна из линий уровня является проецирующей прямой
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата y показывает расстояние от фронтали данной плоскости до фронтальной плоскости проекций

А1
А2
При первом преобразовании выбираем новую плоскость проекций П4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и ее угол наклона  к плоскости проекций П1 .
Определить натуральную величину треугольника (АВС) и угол наклона его к плоскости П1 способом перемены плоскостей проекций
B1
C2
B2
C1
x
П4  П1
П4  h(АВС)
Метрические задачи
Задача 1.

x
А1
А2
П1
П4
x1
П4  П1
П4  h(АВС)
2. П5  П4
П5 (АВС)
При втором преобразовании выбираем новую плоскость проекций П5 так, чтобы плоскость заняла положение плоскости уровня. На П5 строим натуральную величину треугольника
h1
h2
B1
C2
B2
А4
C1
В4
C4

Метрические задачи
Задача 1.
Определить натуральную величину треугольника (АВС) и угол наклона его к плоскости П1 способом перемены плоскостей проекций

Метрические задачи
Задача 2.
Определить расстояние от точки К до плоскости частного положения (1, 2)
x
Проекции искомого расстояния будут перпендикулярны следам данной плоскости. В силу этого N2 K2 есть натуральная величина расстояния. Перпендикуляр NK проходит под плоскостью  , поэтому его горизон-тальная проекция невидима
 2
K1
 1
K2
KN - искомое расстояние

Метрические задачи
А1
А2
Выбираем новую плоскость проекций П4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и проекцию точки К4 .
Задача 3.
B1
C2
B2
C1
x
П4  П1
П4  h(АВС)
К1
К2
Определить расстояние от точки К до плоскости треугольника (АВС)