Расстояние между точками в пространстве

4. Векторным произведением двух векторов a и b называется
ВЕКТОР с= [ a, b ] такой, что
1. с ⊥ a, с ⊥ b
2. a, b, [a, b] – правая тройка
3. |с|=| [a, b] |= |a|·|b|sin(a^b)
a
b
[a, b]
4.а Геометрический смысл модуля векторного произведения
| [a, b] | - Sпар-ма
Векторное произведение в координатной форме

5. Смешанным произведением трех векторов a , b и с называется ЧИСЛО
5.а Геометрический смысл модуля смешанного произведения
Смешанное произведение в координатной форме

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через точку А(х0, у0) параллельно вектору s={p, r}
Уравнение прямой, проходящей через точку N(х0, у0) перпендикулярно вектору n={А, В}
Общее уравнение прямой
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Угол между прямыми на плоскости
Условие параллельности прямых
Условие перпендикулярности прямых

Кривые второго порядка
Окружность
x
у
С
а
Каноническое уравнение окружности c центром
в т. С(х0, у0) и радиусом R
Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
c центром в т. С(0, 0) и полуосями a и b
Каноническое уравнение эллипса с центром в
т. С(х0, у0) и полуосями a и b
b

Каноническое уравнение гиперболы
действительной полуосью a и мнимой полуосью b
мнимой полуосью a и действительной полуосью b
c центром в т. С(х0, у0), с
Гипербола

Каноническое уравнение параболы
c вершиной в т. С(х0, у0), с
с осью симметрии параллельной
ОХ
ОУ
направление ветвей
Парабола

Правила дифференцирования
Производная сложной функции
f ′ (x)=f ′(φ(ψ(μ(x))))⋅φ′(ψ(μ(x)))⋅ψ′(μ(x))⋅μ′(x)
у=f(φ(ψ(μ(x))))

Таблица производных
x′ = 1
(xn)′ = nxn-1
(sinx)′ = сos x
(cosx)′ = -sin x
(ax)′ = axlna
(ex)′ = e x

Свойства неопределенного интеграла

Дифференциал функции
Формула интегрирования по частям
КРУГОВОЙ

Формула Ньютона-Лейбница
Площадь плоской фигуры
Длина кривой
Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ

Дифференциальные уравнения первого порядка
1. С разделенными переменными
М(х) dx + S(y)dy=0
2. С разделяющимися переменными
А) М(х) K(y)dx + S(y)R(x)dy=0
Б) у' = L(y)T(x)
3. Однородные первого порядка
А) f (x,y)dх + g(x, y)dy=0
функции f(x,y) и g(x,y) являются однородными одинаковой степени
Б) у' = f (y/х)
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
у' +p(x)y = q(х)
5. Уравнение Бернулли
у' +p(x)y = q(х)уn

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
у= z(x) и y= g(x) частные решения уравнения
Их линейная комбинация общее решение уравнения
Характеристическое уравнение
y=C1 z(x)+C2 g(x)
1. D>0 k1≠k2
Частные решения
2. D=0 k1=k2=k
Частные решения
3. D<0 k1,2=a ± ib
Частные решения

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Сумма у=yоо +учн - общее решение уравнения, где
yоо - решение однородной части неоднородного д.у.,
учн какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения
f(x)= e
ax
·Pn(x)
1.
Стандартная правая часть
частное решение
yч н= xse
·Qn(x)
aх
Qn(x)=Axn+Bxn-1+Cxn-2+…+Dx+F
s=0, если a≠ ki
s=1, если a= ki
s=2, если a= k1=k2
ki – корни характеристического уравнения
2.
f(x)= eх
·(Pn(x)·
cos bx +
Sr (x)·
sin bx)
учн= хs e
ax
·(Qm(x)·
cos bx +
Rm (x)·
sin bx)
s=0, если a±ib ≠ k1,2
s=1, если a±ib = k1,2
Стандартная правая часть
частное решение
ki – корни характеристического уравнения
m=max{n, r}

О.1.
Бесконечная сумма элементов
называется числовым рядом,
общий член ряда
последовательности вида
О.3.
- ряд сходится,
- сумма ряда
или ∃
- ряд расходящийся
О.2.
частичные суммы ряда
Последовательность частичных сумм ряда
Если ряд
сходится, то
Теорема.
(необходимый признак сходимости ряда)
Числовые ряды

Достаточные признаки сходимости числовых рядов
1. Интегральный признак Коши
сходится
расходится
сходится
расходится
сходится
расходится
Ряд Дирихле
Гармонический ряд
расходится
2. Признак сравнения по величине