Целое уравнение и его корни

Определение
Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.
Например:
х²+2х-6=0,
х⁴+х⁶ = х²-х³,
⅓(х+1)-⅕(х²-х+6)= 2х², т.п.

Определение
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.
Например:
х³+2х²-2х-1=0 – уравнение 3-ей степени;
х⁶-3х³-2=0 – уравнение 6-ой степени.

ах+в=0 – линейное уравнение;
ах²+вх+с=0 – квадратное уравнение.
Алгоритмы решения таких уравнений нам известны.
1)5х-10,5=0,
5х=10,5,
х=2,1.
Ответ: 2,1.
2) х²-6х+5=0,
D₁=9-5=4,
х=3±2,
х₁=5,х₂=1.
Ответ: 1 и 5.

Определение.
Уравнение вида ах⁴+вх²+с=0, являющееся квадратным относительно х², называется биквадратным.
Например.
х⁴-6х²+5=0,
пусть х²=у, тогда
у²-6у+5=0,
D₁=9-5=4,
у=3±2,
у₁=5,у₂=1,
х²=1, х=±1,
х²=5, х=±√5.
Ответ: ±1; ±√5.
2) х⁴+ 4х²-5=0;
пусть х²=у, тогда
у²+4у-5=0;
D₁=4+5=9;
у=-2±3;
у₁=1; у₂=-5;
х²=1; х=±1;
х²=-5; корней нет.
Ответ: ±1.

Уравнения, решаемые путём введения новой переменной.
Например
(х²-5х+4)(х²-5х+6)=120;
пусть х²-5х+4=у, тогда
у(у+2)=120;
у²+2у-120=0;
D₁=1+120=121; у=-1±11;
у₁=10; у₂=-12.
Если у=-10, то
х²-5х+4=10;
х²-5х-6=0;
D=25+24=49,
х=(5±7):2;
х₁=6; х₂=-1.
Если у=-12,то
х²-5х+4=-12;
х²-5х+16=0;
D=25-64<0, значит, корней нет.
Ответ: -1 и 6.