Вычисление площадей плоских фигур

Найти площадь фигуры
y=f (x) непрерывная
f(x)≥0 на [a; b]
a
0
b
x
y=f(x)
y

y=f(x) непрерывная
f(x)≤0 на [a; b]
a
0
b
y=f(x)
y
x
Найти площадь фигуры

0
y
x
y=g (x)
y=f (x)
b
a
y = f (x), y = g (x) – непрерывные,
f (x) ≥ g (x) на [a; b]
Найти площадь фигуры

y=f (x)
a
y=g (x)
b
0
y
x
Найти площадь фигуры
y = f (x), y = g (x) –непрерывные,
f (x) ≥ g (x) на [a; b]

c
x
y=f (x)
a
y=g (x)
b
0
y
Найти площадь фигуры
y = f (x), y = g (x) – непрерывные на [a; b]
f (x) ≥ g (x) на [c; b]
f (x) ≤ g(x) на [a; c], где с [a; b]

c
x
y=f (x)
a
y=g (x)
b
0
y
Найти площадь фигуры
y = f (x) – непрерывная на [a; c]
y = g (x) – непрерывная на [b; c]
f (x) ≥ g (x) на [a; c], где с [a; b]

c
x
y=f (x)
a
y=g (x)
b
0
y
Найти площадь фигуры
y = f (x) – непрерывная на [a; c]
y = g (x) –непрерывная на [c; b],
где с [a; b]

(четность функции)
Разминка
Найти площадь изображенной фигуры

Разминка
Найти площадь изображенной фигуры
(площадь прямоугольного
треугольника)

Разминка
Найти площадь изображенной фигуры
(равенство фигур)

Разминка
Найти площадь изображенной фигуры
S = 2π
(площадь полукруга)

Разминка
Найти площадь изображенной фигуры
S = 1
(площадь треугольника)

Задачи
1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

1 способ S = S1 + S2 + S3
S = 19/12
2 способ S = S1 + SABCD - SOCD
3 способ S = SEFCD - SEFB - SOCD
S1
S2
S3

2) Фигура, ограниченная линиями
y=x+6,
x=1,
y=0,
делится параболой
y=x2 + 2x + 4
на две части.
Найти площадь каждой части.

S1 = 4,5
S2 = 20
1

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
y=3x + 1
y=9 - x
y=x + 1

Интересные задачи
1. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур,
изображенных на рисунке.
(аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)
Указания к решению: sin nx=0

Ответ: 4.
, где n=1,2,4,8,...
sin nx=0 , nx= π, x =
Решение

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1
1
4
0
x
y
y=x2
y = 1
y = 4
x =0
у = x2 , при x ≥ 0

Данная фигура симметрична криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми x=1, x=4, y=0, графиком функции, обратной y=x2, x≥0, т. е.
Поэтому фигуры
1
4
1
4
0
x
y
y=x
y=x2
имеют равные площади

Если фигура ограничена линиями
x=ϕ1(y), x=ϕ2(y), y=c; y=d,
где c на [c; d],
то ее площадь может быть вычислена по формуле