Выпуклость и вогнутость функции

Вариант 1
Самостоятельная работа
x³
y = e
y = ln (x² +1)
Построить график функции
Вариант 2

x³
y = e

y = ln (x² +1)

Дана функция у = f (x)
На интервале (а, b)
функция у = f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем f '(x) >0
Постройте эскиз графика
функции у = f (x) интервале (а, b)
а b
у

Дана функция у = f (x)
Чем отличается поведение линий?
Одна из них – отрезок
прямой
Другая проходит над
отрезком
Третья – под отрезком
А четвертая – частично
над отрезком, частично
под ним
а b
у

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия:
выпуклости и вогнутости
графика функции

Выпуклость и вогнутость функции
Геометрический смысл
второй производной

Выпуклая вверх
(выпуклая кривая)
Кривая называется выпуклой вверх
в точке х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она расположена
под
своей касательной
у
а х

Выпуклая вниз
(вогнутая кривая)
Кривая называется выпуклой вниз
в точке х = а,
если в некоторой окрестности этой точки она расположена
над
своей касательной
у
а х

Кривая выпуклая вверх на интервале
(выпуклая)
у
0 a b х

Кривая выпуклая вниз на интервале
(вогнутая)
у
0 a b х

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х) – вогнутая кривая
Величина углов α1, α2, α3…
растет,
увеличиваются
и тангенсы этих углов
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1 < α2 < α3 < …

м1
м2
м3
α1
α2
α3
График функции у = f (х) – вогнутая кривая
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1 < α2 < α3 < …
тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются
tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)
Если функция возрастает, то ее производная положительна
Производная функции f′(х) – это производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0
Вывод:
Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

α1
График функции у = f (х) – выпуклая кривая
tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция f′(х)
В точках М1, М2, … проведены касательные
производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
f ′′(х) < 0
м1
м2
α1
α2
α1 > α2 > α3 > …
тангенсы углов α1, α2, α3… убывают
Вывод:
Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

Если вторая производная функции
у = f (х)
на данном интервале положительна, то кривая вогнута
а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

Точки, в которых выпуклость
меняется на вогнутость или наоборот,
называются точками перегиба

Правило нахождения интервалов
выпуклости и вогнутости графика функции:
Найти:
Вторую производную
Точки, в которых она равна нулю или не существует
Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками
Знаки второй производной в каждом интервале
Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла,
если f '‘(х) > 0 – вогнута.

Исследование функции с помощью второй производной
Интервалы выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞)
-3 0 2 5 f
х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба
+ - + - + f‘‘

График функции
у = f (х) –
вогнутая кривая
График функции
у = f (х) –
выпуклая кривая
«+»
«-»

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
Вариант 1
у = х³ - 12х + 4
Вариант 2
у = ¼ х4 – 3/2 х²

Проверка
Вариант 1
у = х³ - 12х + 4
х – любое число
f'(х) = 3х² - 12
f''(х) = 6х
6х = 0
х = 0
Интервалы выпуклости:
(-∞, 0)
Интервалы вогнутости:
(0, +∞)
- + f ‘‘
0 f
х = 0 – точка перегиба

Проверка
Вариант 2
у = ¼ х4 – 3/2 х²
х – любое число
f'(х) = х³ - 3х
f''(х) = 3х² - 3 =
3(х – 1)(х + 1)
х = 1
х = -1
Интервалы выпуклости:
(-1, 1)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -1) и (1, +∞)
+ - + f‘‘
-1 1 f
х = 1 и х = -1 – точки перегиба