Основы логики. Алгебра высказываний

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.
Логика изучает:
Формы мышления
Способы мышления
Логика (древнегреч. – слово logos, означает «мысль, понятие, рассуждение, закон») - наука о законах и формах мышления.

История логики насчитывает около двух с половиной тысячелетий. Первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии.
Основоположником формальной логики является Аристотель (384-322 гг. до н.э.) – древнегреческий философ, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Формальная логика
ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА — наука о законах и формах правильного мышления.

Основные формы мышления
Основными формами мышления являются: ПОНЯТИЯ, СУЖДЕНИЯ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.
ПОНЯТИЕ - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного объекта или класса однородных объектов.
Примеры: портфель, трапеция, ураганный ветер.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях.
Суждениями обычно являются повествовательными предложениями, которые могут быть или истинными или ложными.
«Берн — столица Франции»,
«Река Кубань впадает в Азовское море»,
«2>9»,
«3×5=10»
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение).
Все металлы - простые вещества. Литий - металл.→ Литий - простое вещество.
Один из углов треугольника равен 90º. → Этот треугольник прямоугольный.
Основные формы мышления

В дальнейшем своем развитии логика перешла от формальной к математической, появление которой связывают с именем Лейбница.
Во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), указавший пути для перевода логики “из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно”.
Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления.
Математическая логика

Основатель – немецкий
ученый и философ Лейбниц(1642 -1716), предпринял попытку применения математических методов исследования
Математическая логика
Общим между формальной и математической логикой являются законы и категории. Если в формальной логике эти законы абстрактные, то в математической – они конкретные.

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления истинности с помощью алгебраических методов.
В 1842 году Джорж Буль разработал математическую логику или алгебру логики, которую впоследствии стали называть «булевой алгеброй».
Спустя 100 лет алгебра логики стала основой теории цифровых вычислительных машин, ее используют в компьютерной логике, электронике, в основе всех микропроцессорных операций.
Алгебра логики

Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.
А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.
Уже в XIX веке стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем.

ЛОГИКА
ЛОГИКА — это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.
Логика изучает мышление как средство познания объективного мира. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира.
Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком.
Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ
Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, вычислительной технике и электротехнике (построение компьютеров основано на законах математической логики).
В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы логики.
Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем.
Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

Логические высказывания
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?

Логические переменные
Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
Обозначаются буквами латинского алфавита:
A, B, C…
Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)

Истинное Ложное
А=1 В=0
А=«Оперативная память хранится в микросхемах»
В=«Сканер – устройство для печати»
ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Обозначение высказываний
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
простые высказывания (элементарные)
Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.
A и B
A или не B
если A, то B
не A и B
A тогда и только
тогда, когда B
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
Сейчас нет дождя и форточка открыта.
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

Составные высказывания
Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями
Обозначаются F(A,B,C…)
Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними

Логические связки – это слова, которые подразумевают определенные логические связи между высказываниями.

Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
1
0
также: A·B, A ∧ B,
A and B (Паскаль), A && B (Си)
0
0
конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
A ∧ B
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.

Кран В
Кран А
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА?
Открыт кран А
Открыт кран В
И

Значение логической функции определяется
по ее таблице истинности
Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
1
0
также: A+B, A ∨ B,
A or B (Паскаль), A || B (Си)
1
1
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.

Кран А
Кран В
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА?
Открыт кран А
Открыт кран В
ИЛИ

ЗАПОМНИ!

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным
[логическая отрицательная
единица, перевертыш]

Операция НЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.
1
0
0
1
таблица истинности операции НЕ
также: ,
not A (Паскаль),
! A (Си)
Таблица истинности логического выражения – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения для каждой комбинации.

Импликация
Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)

Импликация («если …, то …»)
Высказывание «A → B» истинно, если не исключено, что из А следует B.
A – «Работник хорошо работает».
B – «У работника хорошая зарплата».
1
1
1
0

1
0
1
1
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Истина
Ложь
Истина
Истина
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ)
А – «На улице дождь» В – «Асфальт мокрый»
А → B – «Если на улице дождь, то асфальт мокрый»

Эквиваленция
Эквиваленция – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным
тогда и только тогда, когда
оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

Эквиваленция («тогда и только тогда, …»)
Высказывание «A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

Таблицы истинности
основных логических функций
Логическое умножение
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A ∧ B
0
0
0
1
Логическое сложение
Логическое отрицание
A
0
1
¬A
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А ∨ В
0
1
1
1

Основные логические операции

Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

«Летом Петя поедет в деревню,
и если будет хорошая погода,
то он пойдет на рыбалку».
Простые высказывания
«Будет хорошая погода»
«Он пойдет на рыбалку»
«Петя поедет в деревню»
А = Петя поедет в деревню;
В = Будет хорошая погода;
С = Он пойдет на рыбалку.
F= А&(В?С)
Логические выражения и операции