Расчет стержневых систем

Статически определимые стержневые системы
Задана стержневая система. Известны: l, F, P, . Определить усилия и напряжения в стержнях АВ и АС.
1. Составляем расчетную схему, вырезая узел А с внешними силами, действующими на
стержни. Внутренние силы в стержнях и
направляем от сечений (растяжение).
2. Записываем уравнения равновесия.

Статически определимые стержневые системы
3. Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, определяем усилие и его знак в каждом стержне.
Вывод: система статически определимая, для ее разрешения достаточно уравнений равновесия.
4. Для определения напряжений в стержнях нужно внутренние нормальные силы разделить на площади поперечных сечений стержней с сохранением знака нормальной силы.

Стержневые статически неопределимые системы
Система трех стержней шарнирно прикреплена к стенкам и нагружена силой Р. Половина нижнего стержня нагревается на . Определить внутренние силы, напряжения и деформации каждого стержня и перемещение центрального узла А. Принять
и известными все величины, требующиеся для расчета. Расчет провести в общем виде.
ΔТ

Расчет статически неопределимой стержневой системы
1. Составляем расчетную схему, разрезая все стержни и вырезая узел А со стержнями. Отброшенные связи заменяем внутренними силами в стержнях, направляя их от сечений (предполагая положительными).
2. Записываем уравнения равновесия. Отметим, если все стержни сходятся в одном узле, теряем одно уравнение равновесия.

Расчет статически неопределимой стержневой системы
Получили два уравнения с тремя неизвестными – система статически неопределимая.
3. Для составления дополнительного уравнения используем условие совместности деформации стержней. Рассмотрим его. Перемещение узла связывает деформации 1 и 3-го стержней
где

Расчет статически неопределимой стержневой системы
После подстановки получаем недостающее уравнение, связывающее усилия в 1 и 3 стержнях.
4. После подстановки из уравнения равновесия, находим и

Расчет статически неопределимой стержневой системы
5. Напряжения в стержнях определяем как отношение нормальной силы к площади поперечного сечения.
6. Определяем деформации стержней

Расчет статически неопределимой стержневой системы
7. Проверка правильности решения задачи заключается в удовлетворении исходному уравнению совместности деформаций и не противоречии здравому смыслу.
Видим, что полученное решение удовлетворяет обоим условиям.
При заданных исходных данных третий стержень удлинится, узел А сместится вверх, а 1 и 2 стержни укоротятся с сохранением условия совместности деформаций.
8. При необходимости проводится расчет на прочность

Расчет статически неопределимой стержневой системы
Жесткий недеформируемый брус закреплен на четырех одинаковых стержнях и нагружен силой Р. Определить усилия, напряжения и деформации в стержнях, считая известными нагрузку Р, температуру 4-го стержня, размеры стержней, расстояния а и свойства материала стержней.

Расчет статически неопределимой стержневой системы
Создаем расчетную схему и записываем уравнения равновесия
Вывод - система 3 раза статически неопределима

Расчет статически неопределимой стержневой системы
Записываем уравнения совместности деформации стержней
Выражаем деформации через усилия в стержнях и вставляем их в уравнения совместности деформаций

Расчет статически неопределимой стержневой системы
Выражаем усилия во 2, 3 и 4-м стержнях через усилие в 1-м стержне и вставляем их в уравнение равновесия