Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Εκτέλεση ενός Πειράματος Τύχης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Εκτέλεση ενός Πειράματος
Πλήθος Αποτελεσμάτων:
Χρήσιμο μέγεθος στην επίλυση προβλημάτων πιθανοτήτων
Δεν είναι πάντα εύκολα προσδιορίσιμο (όπως στα προηγούμενα παραδείγματα)
Συνδυαστική Ανάλυση
Μαθηματική θεωρία της μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Βασική Aρχή Mέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Βασική Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Βασική Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Βασική Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Βασική Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Τροποποίηση παραδείγματος 1:
Δεν παράγεται κανένα αυτοκίνητο με 1000 κυβικά και πλούσιο εξοπλισμό.
Πόσες είναι τώρα οι δυνατές επιλογές;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Τροποποίηση Παραδείγματος 2.
Πόσες είναι οι συνολικές διαφορετικές πινακίδες που μπορεί να τυπωθούν αν οι αριθμοί και τα γράμματα δε μπορουν να χρησιμοποιηθουν πάνω από μία φορα;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Γενικευμένη Αρχή Μέτρησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Πόσες είναι οι διαφορετικές Μεταθέσεις των γραμμάτων Α, Β και Γ;
Δηλαδή, με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε (να βάλουμε σε μία σειρά) τα γράμματα Α, Β και Γ;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Πόσες είναι οι διαφορετικές Μεταθέσεις των γραμμάτων Α, Β και Γ;
Μικρή Κλίμακα! → Εύκολη Απαρίθμηση:
ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ: 6 Μεταθέσεις
Μεγάλη Κλίμακα: Η απαρίθμηση γίνεται αδύνατη!!!
Χρήση της γενικευμένης αρχής απαρίθμησης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Μεταθέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Παράδειγμα 1.
Κούρσα 8 δρομέων
Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα για τη σειρά τερματισμού των τριών πρώτων;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Παράδειγμα 4.
Πόσες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε με τα γράμματα της λέξης PARALLEL;
Πόσες από αυτές τις λέξεις έχουν το γράμμα R αριστερά από το γράμμα P;
Σε πόσες λέξεις εμφανίζεται η ακολουθία “PR”?
Σε πόσες λέξεις τα γράμματα P και R βρίσκονται σε γειτονικές θέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση
Κάθε μονοπάτι που έχει διανυθεί μετά από n βήματα μπορεί να συμβολιστεί με μία λέξη n γραμμάτων κάθε ένα από τα οποία είναι Δ ή Π
Π.χ. ΔΔΠ μας οδηγεί στο σημείο (2, 1)
Δ
Π
2,1
x
y

Διατάξεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Παράδειγμα 1.
Επιλογή τριών γραμμάτων από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε
Ποιο είναι το πλήθος των δυνατών συνδυασμών 3 από τα παραπάνω 5 γράμματα
Σημείωση: Μας είναι αδιάφορη η σειρά εμφάνισης των τριών επιλεγμένων γραμμάτων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Παράδειγμα 2.
Από μία τάξη 50 φοιτητών θα επιλεγούν 3 άτομα ως εκπρόσωποι της τάξης.
Ποιο είναι το πλήθος των δυνατών τριμελών επιτροπών;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Παράδειγμα 4.
Πόσα διαφορετικά φουλ μπορούμε να έχουμε χρησιμοποιώντας μία τράπουλα 52 φύλλων;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Παράδειγμα 5.
Έχουμε ένα ρομποτάκι που μπορεί να κάνει δύο ειδών βήματα:
Βήμα Πάνω καλύπτοντας μία μονάδα μήκους (άξονας y)
Βήμα Δεξιά καλύπτοντας μία μονάδα μήκους (άξονας x)
Πόσα διαφορετικά μονοπάτια στο επίπεδο των δύο διαστάσεων μπορεί να έχει καλύψει μετά από 8 βήματα;
Πόσα διαφορετικά μονοπάτια μπορούν να το οδηγήσουν στο σημείο (x, y) = (5, 3);
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Παράδειγμα 6.
Πόσοι είναι οι συνδυασμοί με τους οποίους μπορούμε να μοιράσουμε
i) μία τράπουλα σε 4 άτομα;
ii) μία τράπουλα σε 4 άτομα, έτσι ώστε καθένα από αυτά να έχει ένα άσσο στην κατοχή του;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Το Διωνυμικό Θεώρημα
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Το Διωνυμικό Θεώρημα
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Το Διωνυμικό Θεώρημα
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Το Διωνυμικό Θεώρημα
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Διαμερίσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Θετικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Θετικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Θετικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Θετικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Μη-Αρνητικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Μη-Αρνητικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Μη-Αρνητικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Μη-Αρνητικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Πλήθος Ακέραιων Μη-Αρνητικών Λύσεων μιας Εξίσωσης
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί με Επανάληψη
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση

Συνδυασμοί με Επανάληψη
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Α: Συνδυαστική Ανάλυση