Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.
Определение

Если C ∉ AB,
то ∃α:
A, B, C ∊ α,
причем α – единственная.

Аксиома A2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
A ∊ α;
B ∊ α;
⟹
AB ∊ α;

Аксиома A3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
M ∊ α;
M ∊ β;
⟹
a
β

Аксиома 1
(существование плоскости)
Аксиома 2
(плоскость и прямая)
Аксиома 3
(две плоскости)

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
а)

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
D ∊ BCD;
B ∊ BCD;
⟹
BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;
D ∊ ABD;
B ∊ ABD;
а)

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
D ∊ BCD;
B ∊ BCD;
⟹
BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;
D ∊ ABD;
B ∊ ABD;
A ∊ ABC;
B ∊ ABC;
⟹
AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;
A ∊ ABD;
B ∊ ABD;
а)

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
D ∊ BCD;
B ∊ BCD;
⟹
BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;
D ∊ ABD;
B ∊ ABD;
A ∊ ABC;
B ∊ ABC;
⟹
AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;
A ∊ ABD;
B ∊ ABD;
E ∊ CDE;
C ∊ CDE;
⟹
EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;
E ∊ ABC;
C ∊ ABC;
а)

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
D ∊ BCD;
B ∊ BCD;
⟹
BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;
D ∊ ABD;
B ∊ ABD;
A ∊ ABC;
B ∊ ABC;
⟹
AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;
A ∊ ABD;
B ∊ ABD;
E ∊ CDE;
C ∊ CDE;
⟹
EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;
E ∊ ABC;
C ∊ ABC;
а)
б)
С ∊ DK;
C ∊ ABC;
⟹

A
C
B
D
K
M
P
E
Задача 1
Дано: ABCD – тетраэдр;
Назвать:
PE, MK, EC – прямые;
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;
а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;
Решение:
P ∊ ABD;
E ∊ ABD;
⟹
PE ∊ ABD;
M ∊ ABD;
K ∊ ABD;
⟹
MK ∊ ABD;
D ∊ BCD;
B ∊ BCD;
⟹
BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;
D ∊ ABD;
B ∊ ABD;
A ∊ ABC;
B ∊ ABC;
⟹
AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;
A ∊ ABD;
B ∊ ABD;
E ∊ CDE;
C ∊ CDE;
⟹
EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;
E ∊ ABC;
C ∊ ABC;
а)
б)
С ∊ DK;
C ∊ ABC;
⟹
E ∊ CE;
E ∊ ABD;
⟹

Дано:
A, B, C, D – не лежат в одной плоскости
Задача 2
Найти:
Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?
Решение.
A
B
C
D
m
Пусть:
(A, B, C) ∊ m;
D ∉ m;
∃α: (A,C,D) ∊ α
A ∊ α
C ∊ α
⟹
B ∊ α
(аксиома A2)
(аксиома A1)
(A,B,C,D) ∊ α;
Ответ: Нет.