Арифметическая прогрессия

ЧТО ТАКОЕ ПРОГРЕССИЯ?
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

ЧТО ОБЩЕГО В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ?
2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….
22, 26
-4, -7
5, 5

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
(an) - арифметическая прогрессия,
если an+1 = an+d ,
где d-некоторое число.

РАЗНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.
d=an+1-an

СВОЙСТВА ПРОГРЕССИИ
2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….
Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.
d=4, an+1>an
d=-3, an+1
d=0, an+1=an

ЗАДАЧА
На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
a1=50, d=3
1 числа: 50 т
2 числа: +1 машина (+3 т)
3 числа: +2 машины(+3·2 т)
………………………………………
30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a30=a1+29d
a30=137

ФОРМУЛА N-ОГО ЧЛЕНА
a1
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……………………..
an=an-1+d=a1+(n-1)d
an=a1+d (n-1)

ПРИМЕР 1.
Последовательность (аn)-арифметическая прогрессия. Найдите а81, если а1=20 и d=3.
Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена
а81=а1+d(81-1),
а81=20+3·80,
а81=260.
Ответ: 260.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Пусть an – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
an-an-1=an+1-an,
2an=an-1+an+1,
an=(an-1+an+1):2
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов!

ЗАДАЧА
Последовательность (аn)- арифметическая прогрессия. Найдите а21, если а1=5,8 и d=-1,5.
Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена
а21=а1+d(21-1),
а21=5,8+(-1,5)·20,
а21=-24,2.
Ответ: -24,2.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой an=kn+b, где k и b – некоторые числа.
an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d)
Последовательность(an), заданная формулой вида
an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k