Первообразная и неопределённый интеграл, основные свойства

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.
До сих пор мы рассматривали следующую задачу: задана функция и требуется найти ее производную. Теперь будем рассматривать обратную задачу: будем находить функцию по заданной ее производной.

Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на промежутке X, если ∀ x ∈ X (F′(x) = f (x)).
Пример: y = x2.
F1(x) = x3/3
F1′(x) = (x3/3)′ = (1/3)(x3)′ = (1/3)3x2 = x2.
F2(x) = x3/3 + 1
F3(x) = x3/3 – 5,5
И вообще: F(x) = x3/3 + с, где с = const при любом с будет первообразной.

Первообразных у функции всегда бесконечное множество.
Имеем следующее: если F(x) является первообразной функции f (x), то и любая функция вида F(x) + с тоже будет первообразной при любом с.
Возникает вопрос: а могут ли быть первообразные другого вида? Как показывает следующая теорема – нет.
Теорема (о первообразной). Пусть F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке X, Ф(х) – какая-то другая функция. Ф(х) является первообразной f(x) на X тогда и только тогда, когда Ф(х) = F(x) + с, на Х, где с = const.

Доказательство
Необходимость. Пусть Ф(х) первообразная функции f(x) на X. Рассмотрим:
(Ф(х) - F(х))′ = Ф′(х) - F′(х) = f(x) - f(x) = 0 ∀x∈X,
таким образом, этой функции ≡ 0 на Х. По критерию постоянства заключаем, что
Ф(х) - F(х) ≡ с на Х. Отсюда Ф(х) = F(x) + с на Х.
Достаточность. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) и Ф(х) = F(x) + с, тогда
Ф′(х) = [F(x) + с]′ = F′(х) = f(x) и, стало быть, Ф(х) тоже производная на этом промежутке.
Ч.т.д.

Определение 2. Пусть F(х) первообразная функции f(x) на Х. Выражение вида F(x) + с, где с – произвольная постоянная (могущая принимать любые вещественные значения), называется неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке.
Обозначается: ∫ f (x)dx = F(x) + с.
При этом f(x) называют подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, неопределенный интеграл есть семейство функций, а именно – множество всех первообразных функции f(x).

Таблица интегралов
∫0dx = c,
∫dx = x + c,
∫xμdx = + c, (μ ≠ -1)
= ln|x| + c,
∫axdx = + c,
∫exdx = ex + c,
∫sinxdx = -cosx + c,
∫cosxdx = sinx + c,

Продолжение таблицы интегралов
= tgx + c,
= - ctgx + c,

Чтобы доказать истинность каждой из этих формул, достаточно убедиться в том, что производная правой части равна подынтегральной функции.
Докажем формулу 4.
= ln|x| + c.
Требуется доказать: (ln|x|)′ = .
а) Пусть x > 0. Тогда: (ln|x|)′ = (lnx)′ = .
b) Пусть x < 0. Тогда: (ln|x|)′ = (ln(-x))′ = .

Основные свойства неопределенного интеграла
Доказательство
Ч.т.д.
2) d ∫ f(x)dx = f(x)dx, (символы d и ∫ взаимно уничтожаются).
Доказательство
d ∫ f(x)dx = [∫ f(x)dx]′dx = f(x)dx.
Ч.т.д.

Основные свойства неопределенного интеграла (продолжение)
3) ∫df(x) = f(x) + c.
Интеграл от дифференциала функции равен этой функции + с. Таким образом, символы ∫ и d взаимно уничтожаются.
Доказательство
∫df(x) = ∫f ′(x)dх = f(x) + c.
Ч.т.д.

Основные свойства неопределенного интеграла (продолжение)
4) ∫af(x)dx = ∫af(x)dx, (а ≠ 0) - свойство однородности. Константу можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Доказательство
Достаточно убедиться в том, что производная левой части равна производной правой части (в этом случае и в левой и в правой частях будет одно и тоже семейство первообразных).
[∫af(x)dx]′ = аf(x) (по первому свойству).
[a∫f(x)dx]′ = a [∫f(x)dx]′ = аf(x).
Ч.т.д.

Основные свойства неопределенного интеграла (продолжение)
5) Аддитивность относительно подынтеграль-ной функции.
∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx.
Доказательство
Достаточно показать, что производная левой части равна производной правой части (в этом случае и в левой и в правой частях будет одно и тоже семейство первообразных).
{∫[ f (x) ± g(x)]}′ = f (x) ± g(x).
[∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx]′ = [∫f(x)dx]′ ± [∫g(x)dx]′ =
= f (x) ± g(x).
Ч.т.д.

Замечание 1. Свойство аддитивности справед-ливо для любого конечного числа слагаемых.
Замечание 2. Вычисление интегралов называ-ется интегрированием.

§ 2. Интегрирование с помощью замены переменных (метод подстановки).
Сущность метода заключается в следующем:
∫ f (x)dх с помощью подстановки x = ϕ(t)
приводят к другому, более простому для вычисления, то есть подбирают функцию
x = ϕ(t) так, чтобы
∫ f (ϕ(t))dϕ(t) = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt
был более простым для вычисления.

Теорема (о подстановке). Пусть ∫ f (t)dt =F(t)+c, при этом t = ϕ(х), тогда:
∫ f (ϕ(х))dϕ(х) = F(ϕ(х)) + c,
или
f (ϕ(х))ϕ′(х)dх = F(ϕ(х)) + c,
функции f, ϕ, ϕ′ считаем непрерывными.
Доказательство
Достаточно проверить, что:
[F(ϕ(х))]′ = f (ϕ(х))ϕ′(х)
Действительно,
Fx′ = Ft′tx′ =* f (t)ϕ′(t) = f (ϕ(х))ϕ′(х).
* справедливо так как по условию F(ϕ) первообразная для f (х). Ч.т.д.

Пример 1.
∫sin3xcosxdх =(*)= ∫sin3xdsinx = [sinx = t] = ∫t3dt =
= t4/4 + с = (1/4)sin4x + с.
Замечание 3. На шаге (*) мы осуществили так называемое внесение функции под знак дифференциала.
Пример 2.
= ∫lnxdlnx = [lnx = t] = ∫tdt =
= t2/2 + с = (1/2)ln2x + с.

Из теоремы о подстановке можно извлечь один очень важный вывод, а именно, можно написать, что:
∫ f (t)dt⎪t = ϕ(x) = ∫ f (ϕ(x))ϕ′(x)dx
Для удобства поменяем x и t местами:
∫ f (x)dx⎪x = ϕ(t) = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt
Будем предполагать, что существует обратная функция x = ϕ(t) → t = ϕ-1(x).
Таким образом, получим следующее:
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt⎪t = ϕ-1(x)

Отсюда получаем правило для вычисления интеграла методом подстановки: чтобы вычислить ∫ f (x)dx с помощью подстановки
x = ϕ(t) нужно под знаком интеграла вместо x везде подставить ϕ(t) (в подынтегральной функции, а также вместо dx мы подставляем ϕ′(t)dt).
Вычисляем полученный интеграл, зависящий от t. Ответ получаем в терминах переменной t. Чтобы получить окончательный результат, нужно перейти к прежней переменной x исходя из самой подстановки.

Замечание 4. Внесение под знак дифференциала есть частный случай метода подстановки.
Метод подстановки – один из самых сильных методов интегрирования.
Пример 3.
∫(2х + 3)10dх = = (1/2)∫t10dt =
= (1/2)t11/11 + с = (1/22) (2х + 3)11 + с.

Пример 4.