Асимптоты графика функции

вертикальная асимптота
горизонтальные асимптоты
наклонные асимптоты

Асимптоты графика функции.
Теорема 1. Если
то прямая x=a является вертикальной асимптотой
графика функции y=f(x).

Асимптоты графика функции.
Cледствие. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва области определения и на концах ее области определения (если область определения имеет вид
(a,b), (a,+∞), (-∞,b)).

Примеры вертикальных асимптот.
Пример1.

Примеры вертикальных асимптот.
Пример1.
-3
вертикальная
асимптота

Примеры вертикальных асимптот.
Пример 2.

Асимптоты графика функции.
Теорема 2. Если , то прямая y=a является горизонтальной асимптотой.

Примеры горизонтальных асимптот.
Пример1.

Примеры горизонтальных асимптот.
Пример1.
-3
горизонтальная
асимптота

Теорема 3. Если ,
то прямая y=ax+b является наклонной асимпто-
той.
Асимптоты графика функции.

Примеры наклонных асимптот.
Пример1.

Примеры наклонных асимптот.
Пример1.

Примеры наклонных асимптот.
Пример1.
-3
наклонная асимптота

Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты
y=ax+b
Если а=0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.
Поэтому горизонтальные асимптоты можно не искать,
сразу искать наклонные.

Общая схема исследования функций.
Область определения.
Исследование на четность-нечетность.
Асимптоты.
Экстремумы и интервалы монотонности.
Точки перегиба и интервалы выпуклости.
Точки пресечения с осями координат.
График функции.

Пример
1. Область определения

Пример
1. Область определения

Пример
2. Исследование на четность-нечетность.
f(-x)=……

Пример
2. Исследование на четность-нечетность.
Функция общего вида

Пример
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва

Пример
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва
x=3 – вертикальная асимптота

Пример
3. Асимптоты
б) горизонтальные и наклонные y=ax+b

Пример
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b

Пример
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b

Пример
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
y=x-3 – наклонная асимптота,
горизонтальных асимптот нет

Пример
4. Экстремумы и интервалы монотонности

Пример
4. Экстремумы и интервалы монотонности

Пример
4. Экстремумы и интервалы монотонности

Пример
4. Экстремумы и интервалы монотонности
1
3
5
+
+
-
-
т. max
т. min

Пример
4. Экстремумы и интервалы монотонности
1
3
5
+
+
-
-
т. max
т. min

Пример
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости

Пример
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости

Пример
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
3
+
-
Решений нет
Точек перегиба нет

Пример
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0

Пример
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
Точек пересечения с OX нет

Пример
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0

Пример
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0

Пример
7. График функции. Сначала строим асимптоты
3
-3
x=3
y=x-3

Пример
7. График функции. Отмечаем точки экстремума
3
-3
x=3
y=x-3
5
1
-4
4