Частные производные и их геометрические интерпретации. Полный дифференциал функции нескольких переменных

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Дадим аргументу х приращение Δх, а аргументу у приращение Δу.
Тогда функция z получит значение
Величина
называется полным приращением функции в точке (х,у).

Если задать только приращение х или у, то
- частные приращения функции.

Полное приращение функции в общем случае не равно суме частных приращений:

ПРИМЕР.
Найти полное и частные приращения
функции

РЕШЕНИЕ.

Действительно

Частной производной функции нескольких
переменных по одной из этих переменных
называется предел отношения
соответствующего частного приращения
функции к приращению рассматриваемой
независимой переменной, при стремлении
приращения переменной к нулю.

Из определения частной производной следует, что для нахождения производной
нужно считать постоянной переменную у, а для нахождения производной
нужно считать постоянной переменную х.
При нахождении частных производных сохраняются известные ранее правила дифференцирования.

ПРИМЕР.
Найти частные производные
функции

РЕШЕНИЕ.

Введем понятие частных производных второго порядка.
Если частные производные
и
сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти их частные производные, которые называются частными производными второго порядка:

Можно также определить смешанные производные:

Если частные производные второго порядка
функции z=f(x,y) непрерывны в точке (х0,у0),
то в этой точке смешанные производные
равны:

Пример.
Вычислить частные производные
второго порядка функции
в точке (1,0).

Решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Дифференциалом функции называется
сумма произведений частных
производных этой функции на
приращения соответствующих
независимых переменных.

Функция z=f(x,y) называется
дифференцируемой в точке (x,y), если
ее полное приращение можно
представить в виде:

Где dz – дифференциал функции;
- бесконечно малые величины при
Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных – это главная, линейная относительно приращений Δх и Δу часть полного приращения функции.

Для функции одной переменной y=f(x) существование конечной производной
и представление приращения функции в виде
являются равнозначными утверждениями.
Для функции нескольких переменных существование частных производных является необходимым но не достаточным условием дифференцируемости функции.