Комбинаторика

ЦЕЛИ:
Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, повторить формулы для вычисления числа перестановок, размещений и сочетаний;
развивать пространственное воображение, познавательную и творческую деятельность, математическую речь, память, внимание;
логическое и алгоритмическое мышление;
3. воспитывать ответственное отношение к учебному труду, убеждение в практической значимости комбинаторики как области математики

Комбинаторика –
самостоятельная ветвь математической науки
- это раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения»: перестановки, размещения, сочетания.
(Большой Энциклопедический Словарь)
- происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Перечислительная
Структурная
Вероятностная
Топологическая
Разделы комбинаторики –

«Вперед поедешь – голову сложишь,
направо поедешь – коня потеряешь,
налево поедешь – меча лишишься.

Перестановки –
соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их
Число n называется порядком перестановки.

n-факториал-
это произведение всех натуральных чисел от до единицы до n, обозначают символом ! Используя знак факториала, можно, например, записать:
1! = 1,
2! = 2*1=2,
3! = 3*2*1=6,
4! = 4*3*2*1=24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120.
Необходимо знать, что 0! = 1

Задача
Квартет
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

Решение:
Здесь n=4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Размещения –
соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их

Задача
В группе ТД – 21 обучается
24 студента.
Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение задачи:
Ответ: число способов равно числу размещений из 24 по 3,
т.е. 12144 способа.

Сочетания–
соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

Задача
Студентам дали список из 10 учебников,
которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену .
Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Решение задачи:
Ответ: число способов равно числу сочетаний из 10 по 3,
т.е. 120 способов.

Библиографическая справка
Термины «перестановки» и «размещения» впервые употребил Якоб Бернулли в книге «Искусство предположений».
Термин «сочетания»впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Особая примета
комбинаторных задач - вопрос,
который начинался словами
«Сколькими способами…?»

Решение задач:
Задача №1: В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (I, II, III) мест?
Задача №2: Студенты Женя, Сергей, Коля, Наташа и Ольга побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие студенты могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Задача № 3: В 9 классе учатся 7 учеников, в 10 – 9, а в 11 – 8 учеников. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учеников из 9 класса, трех – из 10 класса и одного – из 11 класса. Сколько существует способов выбора учеников для работы
на пришкольном участке?

Исторические сведения
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей.
Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма.
Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Исторические сведения
Дата рождения: 1 июля 1646 г.
Место рождения: Лейпциг, Германия
Дата смерти:14 ноября 1716 г.
Место смерти: Ганновер, Германия
Школа/традиция: рационализм
Направление: Европейская философия
Основные интересы: Метафизика, эпистемология, наука, математика.
Лейбниц Готфрид Вильгельм

Связь комбинаторики
с другими областями математики:
Имеет широкий спектр применения в информатике и статистической физике
алгебра,
геометрия,
теория вероятностей.

Фигурные числа
.
Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать – нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (причем эти числа равны), и получим общее количество солдат внутри квадрата

Фигурные числа
В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны и треугольные числа, которые получаются так как показано на рисунке.

Комбинаторика
в различных областях
жизнедеятельности человека.
Литература
Былины
Сказки_
Басни__

Электротехника
В коридоре висят три
лампочки. Сколько имеется
различных способов освещения коридора?

Государственная символика

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг?
Ответ:6.

Игра Шахматы
Выдающиеся шахматисты Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.
Компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

Игра Кубик Рубика
Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.
Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.
Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Меню на завтрак
На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?