Числовые статистические характеристики случайных сигналов

Цель лекции:
1. Сформулировать основные определения.
2. Изучить законы распределения случайных вели-чин и случайных процессов.
3. Рассмотреть некоторые примеры законов рас-пределения.

Законы распределения полностью характеризуют слу-чайную величину с вероятностной точки зрения. Зная закон распределения, можно указать возможные значения случайной величины и вероятность появления ее в том или ином интервале. Однако при решении многих практи-ческих задач нет необходимости или нет возможности характеризовать случайные величины и процессы их законами распределения.
1. При решении многих задач линейного и нелинейного преобразований случайных сигналов вычисление законов распределения не представляется возможным.
2. В радиотехнике возможны ситуации, когда механизм образования случайных сигналов неизвестен.
1. Общие положения

3. Имеются законы распределения, которые характери-зуются несколькими параметрами. Знание этих парамет-ров достаточно, чтобы определить закон распределения.
4. Иногда достаточно иметь общее представление о случайной величине, для чего необходимо знать только несколько ее параметоров.
Для общей характеристики случайной величины испо-льзуют величины, которые носят название числовые хара-ктеристики. Основное их назначение − выразить наибо-лее существенные особенности того или иного распреде-ления.
Наибольшее применение нашли такие числовые харак-теристики, как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.

2.1. Математическое ожидание
Математическое ожидание является важнейшей хара-ктеристикой случайной величины. Ее еще называют сред-ним значением случайной величины. Это название отра-жает физический смысл данной характеристики. Возмож-ные значения случайной величины всегда колеблются около среднего значения.
2. Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
где xi − i-ое значение случайной величины ;
Pi − вероятность того, что случайная величина X принимает значение xi;
n − количество i-ых значений случайной величины.
2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

3. Если случайная величина Y является функцией слу-чайной величины X, т.е. y = f(x), то математическое ожи-дание равно
2.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
Дисперсия служит для оценки степени рассеяния слу-чайной величины около ее среднего значения.
1. Дисперсия дискретной случайной величины

2. Дисперсия непрерывной случайной величины
3. Если случайная величина Y является функцией слу-чайной величины X, т.е. y = f(x), то дисперсия равна
Дисперсия случайной величины равна разности матема-тического ожидания квадрата случайной величины и квад-рата ее математического ожидания, т.е.
Имеется определенное правило вычисления дисперсии.

2.3. Моменты случайной величины
На практике применяют моменты двух видов: началь-ные моменты и центральные моменты.
Таким образом, дисперсия случайной величины получается, если от математического ожидания квадрата случайной величины отнять квадрат ее математического ожидания.

Начальным моментом k-го порядка непрерывной слу-чайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Y, значения которой равны y=xk, т.е.
Очевидно, что начальный момент первого порядка есть не что иное, как математическое ожидание, так как
Центральным моментом k-го порядка непрерывной случайной величины X называется математическое ожида-ние центрированной случайной величины X – mx , возведенной в k-ю степень, т.е.

Очевидно, что центральный момент первого порядка равен нулю:
В свою очередь, центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия, т.е.
Центральные моменты высших порядков используются главным образом для оценки некоторых параметров зако-нов распределения случайной величины (ассиметрии, эксцесс и др.).

3. Числовые характеристики случайных сигналов
Прежде чем рассматривать числовые характеристики случайных сигналов, необходимо определить разновидно-сти случайных процессов, которые используются для ма-тематического описания сигналов.

3.1. Стационарные случайные процессы
Стационарные случайные процессы – это важнейший класс случайных процессов, которые являются матема-тической моделью широко встречающихся в радиотех-нике сигналов и помех. Особенности этих процессов, облегчающие применение математического аппарата для их анализа, позволяют решать многие задачи статистичес-кой радиотехники.
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если его n-мерные плотности вероятности pn(x1, x2 ,…, xn ; t1 ,t2 ,…tn ), при любом n =1, 2, 3, … не меняются при любом сдвиге точек t1 ,t2 ,…tn вдоль оси времени, т.е.

Другими словами, у стационарного в узком смысле слу-чайного процесса n-мерные плотности вероятности при всех n инвариантны относительно начала отсчета време-ни. Это значит:
1. Одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е. p(x,t) = p(x) .
2. Двухмерная плотность вероятности также не зависит от времени, а зависит от разности τ = t2 – t1, т.е.
p2(x1, x2; t1 ,t2) = p2 (x1, x2; τ) .
Это значит, что моментные функции второго порядка также не зависят от времени, а корреляционные функции зависят только от τ = t2 – t1.

Приведем формулы для числовых характеристик неста-ционарного и стационарного случайных процессов.
а. Нестационарный случайный процесс
Дисперсия
Ковариационная функция
Корреляционная функция
Математическое ожидание

Дисперсия
Ковариационная функция
Корреляционная функция
Математическое ожидание
б. Стационарный случайный процесс

Для стационарных случайных сигналов можно выдели-ть следующие свойства числовых характеристик.
1. Корреляционная функция стационарного процесса четная, т.е. Rx (τ) = Rx (-τ) .
2. Для многих практических случаев выполняется ра-венство
3. Дисперсия стационарного процесса равна значению корреляционной функции при τ = 0, т.е. Dx = Rx (0).
4. Абсолютное значение корреляционной функции не превышает ее значения при τ = 0, т.е. Rx (τ) ≥ Rx (0) = Dx .

Докажем это.
Определим математическое ожидание
полагая, что mx = 0.
Таким образом,

Большинство стационарных случайных процессов обла-дают очень важным для практики свойством эргодично-сти. Суть этого свойства заключается в том, что все или некоторые вероятностные характеристики процесса мож-но определить не только путем усреднения по множеству реализаций, но и путем усреднения по времени одной до-статочно длинной реализации. Усреднение по времени физически можно объяснить тем, что стационарный слу-чайный процесс протекает однородно во времени, вслед-ствие чего одна продолжительная реализация содержит все сведения о свойствах процесса.
в. Эргодический случайный процесс

Стационарный случайный процесс называется эргоди-ческим, если при определении его статистических харак-теристик усреднение по множеству реализаций эквива-лентно усреднению по времени одной сколь угодно длин-ной реализации. Если речь идет о всех статистических характеристиках, то такой процесс называется эргодичес-ким в строгом смысле. В то же время возможна эргодич-ность относительно отдельных характеристик.
Эргодичность случайных процессов позволяет изучать их статистические свойства по одной реализации, наблю-даемой в течение длительного промежутка времени.

Дисперсия
Ковариационная функция
Корреляционная функция
Математическое ожидание

3.3. Взаимная корреляционная функция
Пусть x(t) и y(t) стационарные и стационарно связанные случайные процессы. Взаимные ковариационная и корреляционная функции этих процессов определяются следующими соотношениями:
Для эргодических процессов

Рассмотрим два эргодических случайных процесса x(t) и y(t) с математическими ожиданиями, равными 0. Корре-ляционная функция случайного процесса z(t) = x(t) + y(t) равна

Выводы.
1. Обоснована необходимость определения числовых характеристик случайных величин и случайных процес-сов.
2. Дано определение стационарных и эргодических случайных процессов.
3. Приведены числовые характеристики случайных ве-личин и случайных процессов.

2.4. Корреляционные моменты двух случайных величин
Для количественной меры статистических связей двух случайных величин применяют смешанный начальный и центральный моменты случайных величин 2−го порядка.
Смешанный начальный момент случайных величин 2-го порядка называется ковариационным моментом.
Смешанный центральный момент случайных величин 2-го порядка называется корреляционным моментом.

Простейшие преобразования позволяют установить сле-дующую связь между Bxy и Rxy.
Свойства корреляционного момента.
1. Корреляционный момент двух независимых случай-ных величин X и Y равен нулю.
Доказательство производится с учетом того, что для не-зависимых случайных величин справедливо
p(x,y) = p(x) · p(y).

Тогда
2. При Rxy < 0 ( Rxy > 0 ) между величинами X и Y су-ществует отрицательная (положительная) корреляционная зависимость, т.е. чем больше значение одной величины, тем более вероятны меньшие (большие) значения у дру-гой.
3. Из коррелированности двух случайных величин сле-дует их зависимость, но из зависимости еще не следует их коррелированность.
Из независимости двух случайных величин обязательно следует их некоррелированность, но из некоррелирован-ности не всегда следует их независимость.