угол между прямой и плоскостью (1)

тест
1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?
2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?
3.Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

4.Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, BAC = 60°.
А
В
С
6 см
5.Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?

тест
1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?
2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?
3.Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.
1)Нет
2)Верно
3)SB – наибольший
SC – наименьший

4.Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, BAC = 60°.
А
В
С
6 см
5.Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?
4) 12 см
5) верно

Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна ее проекции,
то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной,
то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Перпендикулярны ли прямые а и в?
Ответ обоснуйте.
А
В
С
D
F
b
a
ABCD- прямоугольник, FB┴(ABC)
ABCD- параллелограмм, FB┴(ABC)

Перпендикулярны ли прямые а и в?
Ответ обоснуйте.
А
D
C
B
O
F
b
a
ABCD- прямоугольник, FB┴(ABC)
ABCD- ромб, FB┴(ABC)
a

Перпендикулярны ли прямые а и в?
Ответ обоснуйте.
B
A
C
D
a
b
BD┴ (ABC),
∟ABC=40˚,
∟BAC=50˚
A
C
B
D
b
a
BD┴ (ABC),
∟ABC=10˚,
∟BAC=70˚

Угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Если
а
– проекция прямой
а на плоскость
то

Назовите угол между
В1D и (ABC); В1D и (DD1C1)
АВСD- прямоугольник,
АА1⊥(АВС)
АВСD- прямоугольник,
АА1⊥(АВС)

ВВ1⊥(АВС).Назовите угол между ВС1 и (АА1В1).
△АВС - равносторонний
△АВС – прямоугольный
∠В=90°
Р

ВВ1⊥(АВС).Найдите угол между ВС1 и (АА1В1).
△АВС – тупоугольный, ∠В>90°
Р

АА1⊥(АВС)
Найдите угол:
Между В1F и (АВС);
Между В1F и (КК1F);
Между В1F и (АА1В1);

Схема построения линейного угла между плоскостями
Выделить линию пересечения плоскостей и определить, есть ли плоскость ей перпендикулярная
да
нет
(использовать определение)
2. Выделить или
построить прямые
пересечения этой
плоскости с данными
плоскостями.
3. Сделать вывод, что
угол между этими
прямыми является
линейным углом.
(использовать теорему
о трех перпендикулярах)
2. Выделить или построить
первый перпендикуляр
3. Определить второй
перпендикуляр
4. Построить третий
перпендикуляр
5. Сделать вывод, что
угол между построенными
наклонной и ее проекцией
является линейным углом
(использовать определение
линейного угла)
2. Выделить или построить
в одной из данных плоскостей
перпендикуляр к линии
пересечения плоскостей
3. Выделить или построить
перпендикуляр к линии
пересечения плоскостей,
лежащий в другой плоскости
и проходящий через основание
перпендикуляра из п. 2
4. Сделать вывод, что
угол между построенными
перпендикулярами является
линейным углом между
двумя плоскостями

Угол AОB – линейный угол двугранного угла ADEB.
D
E
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
ADEB = AOB
Плоскость (AOB) DE
Алгоритм построения линейного угла.
D
E
O
1 способ
2 способ

Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если
в пирамиде PABC AB=BC , прямая PB перпендикулярна плоскости ABC
A
C
B
P
K

Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если
в пирамиде PABC грань ABC- правильный треугольник, О- точка пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости ABC
P
A
B
C
О

Дана пирамида SAВC, в основании которой прямоугольный треугольник
с катетами АВ и ВС, СS перпендикулярна плоскости основания.
Построить угол между плоскостью основания и плоскостью SAВ.
S
A
В
C

PABC- пирамида, основание которой- правильный треугольник. Какой из
отмеченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром AC, если D-середина отрезка AC, прямая PB перпендикулярна плоскости ABC.
A
B
C
D
Р

В параллелограмме АВСD угол АDС равен , АD = 8 см,
DС= 6 см , прямая РС перпендикулярна плоскости (АВС), РС= 9 см.
Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь
параллелограмма.
Решение:
H
120