Геомет.1

Геометрия
Планиметрия
Стереометрия
stereos
- объемный, пространственный
metreo
- измеряю

Стереометрия
раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур
в пространстве.
Основные фигуры в пространстве
А
Точка.
а
Прямая.
Плоскость.

СТЕРЕОМЕТРИЯ
точка
прямая
плоскость
A, B, C, …
a, b, c, …
или
AВ, BС, CD, …

Геометрические тела
Куб.
Параллелепипед.
Тетраэдр.

Геометрические понятия
Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро

Аксиома
(от греч. axíõma – принятие положения)
исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

АКСИОМЫ
планиметрия
стереометрия
1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Характеризуют взаимное расположение точек и прямых
Основное понятие геометрии «лежать между»
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
А2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
А1. Через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.

А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
α
β
а ∩ β = m
m

Аксиомы стереометрии описывают:
А1.
А2.
А
В
С
β
Способ задания прямой
α
Способ задания плоскости
А
В

Аксиомы стереометрии описывают:
А3.
А4.
β
А
В
Взаимное расположение прямой и плоскости
Взаимное расположение плоскостей

Способы задания плоскости
1. Плоскость можно провести через три точки.
2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку.
Аксиома 2
Следствие 1
Следствие 2
3. Можно провести через две пересекающиеся прямые.
А2

Следствия из аксиом стереометрии
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Прямые параллельны
Прямые пересекаются
Прямые скрещиваются
Единственная общая точка
Не лежат в одной плоскости
a // b
а ∩ b = M
а ⊂ γ b ∩γ
А3
Лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Признак скрещивающихся прямых
Если одна прямая лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются.

Свойства параллельных прямых
b
Теорема 1. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
α
β
Теорема 2. Если через две параллельные прямые провести плоскости, и плоскости пересекутся, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых.
с
Теорема 3. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
γ
а
b
c

Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая лежит в плоскости
Прямая пересекает плоскость
Прямая параллельна плоскости
Множество общих точек
Единственная общая точка
Нет общих точек
γ
а
γ
а
М
γ
а
а ⊂ γ
а ∩ γ = М
а // γ
А3

Прочти чертеж
A
С

Прочти чертеж
B
c
b
a

Прочти чертеж

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три прямые, параллельные прямой В1С1;
б) четыре прямые, пересекающие прямую AD;
в) четыре прямые, скрещивающиеся с прямой АА1.

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) пять точек, лежащих в плоскости SAB,
в плоскости АВС;
б) плоскость, в которой лежит прямая MN,
прямая КМ;
в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC ,
плоскости SAC и CAB.

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) две плоскости, содержащие прямую DE ,
прямую EF;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
DEF и SBC;
плоскости FDE и SAC ;
в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC .

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
а)
В1С
?

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
а)
В1С
?

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
C1
C

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
б)

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1 ; с прямой BC1

А
А1
В
В1
С
D1
D
C1
в)

Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) три плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ1;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1 ; с прямой BC1

Ответьте на вопросы:
Верно ли, что две прямые параллельны, если они не имеют общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Верно ли, что через две точки можно провести множество плоскостей?
Верно ли, что если две прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны?
Верно ли, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой?
Могут ли две пересекающиеся прямые не лежать в одной плоскости?
Нет
Нет
Да
Нет
Да
Да