Элементы математической статистики

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

Статистика — это точная наука, изучающая методы сбора, анализа и обработки данных, которые описывают массовые действия, явления и процессы
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

СТАТИСТИКА ИЗУЧАЕТ:
численность отдельных групп населения страны и ее регионов;
производство и потребление разнообразных видов продукции;
перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта;
природные ресурсы и многое другое.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Ряд данных – это ряд результатов каких-либо измерений.
Например:
1 ) измерения роста человека
2) Измерения веса человека (животного)
3)Показания счетчика (электроэнергии, воды, тепла…)
4) Результаты в беге на стометровку
И т.д.

Объемом ряда данных называется количество всех данных.
Например: дан ряд чисел 1; 3; 6; -4; 0 объём его будет
равен 5. Почему?

Модой ряда данных называется число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.
Медиана с нечётным числом членов – это число, записанное посередине.
Медиана с чётным числом членов - это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Например: определить медиану ряда чисел.
1) 6; -4; 5; -2; -3; 3; 3; -2; 3. Ответ: -3
2) -1; 0; 2; 1; -1; 0;2; -1. Ответ: 0

Полигон распределения – это зависимость абсолютной частоты варианта mi от значения варианта i x . Эту зависимость можно представить в виде таблицы.

Рассмотрим простейшую задачу данного типа.
Задача:
Измерение роста детей младшей группы детского сада представлено выборкой: 92, 96, 95, 96, 94, 97, 98, 94, 95, 96.
Найдем некоторые характеристики этой выборки.
Решение
Размер выборки (число измерений; N): 10.
Наименьшее значение выборки: 92. Наибольшее значение выборки: 98.
Размах выборки: 98 – 92 = 6.
Запишем ранжированный ряд (варианты в порядке возрастания):
92, 94, 94, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 98.

Вычислим относительные частоты и накопленные частоты, результат запишем в таблицу:
Сгруппируем ряд и запишем в таблицу (каждой варианте поставим в соответствие число ее появлений):

Построим полигон частот выборки (отметим на графике варианты по оси ОХ, частоты по оси OY, соединим точки линией).
Построим полигон частот выборки (отметим на графике варианты по оси ОХ, частоты по оси OY, соединим точки линией).

Математическое ожидание - случайной величины XX (обозначается M(X)M(X) или реже E(X)E(X)) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание - это первый начальный момент заданной СВ.
Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины - срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
Xi −1 2 5 10 20
Pi 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
M(х)=∑ xi⋅pi.
Получаем:
M(х)=∑xi⋅pi=−1⋅0.1+2⋅0.2+5⋅0.3+10⋅0.3+20⋅0.1=6.8.

Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Пример:
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Решение: поскольку игрок выигрывает в 18 случаях из 37, то закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
Вычислим математическое ожидание:
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
очка
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близко к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Это статистическая вероятность.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.
Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Упорядоченными рядами данных называются ряды, в которых данные расположены по какому то правилу.
Как упорядочить ряд чисел?
Записать числа так, чтобы каждое последующее число было
не меньше (не больше) предыдущего; или записать
некоторые названия «по алфавиту»…

Таблица распределения данных – это таблица упорядоченного ряда, в котором вместо повторений одного и того же числа записывается количество повторений.
И наоборот, если известна таблица распределения, то можно составить упорядоченный ряд данных.

Номинативный ряд данных – это НЕ ЧИСЛОВЫЕ ДАННЫЕ, а например, имена; названия; номинации…
Например:
список финалистов чемпионатов мира по футболу с 1930
года: Аргентина, Чехословакия, Венгрия, Бразилия, Венгрия,
Швеция, Чехословакия, ФРГ, Италия, Нидерланды,
Нидерланды, ФРГ, ФРГ, Аргентина, Италия, Бразилия,
Германия, Франция

Вероятность случайного события равна дроби, в знаменателе
которой содержится число всех равновероятных возможностей, из
которых состоит достоверное событие, а в числителе – число тех
возможностей, при которых рассматриваемое событие происходит.
Процентная частота - ( частота · 100% )
Например: если частота результата равна 5:19= 0,263157…, то
процентная частота будет равна: 0,263 · 100 = 26,3%
Часто ответы для процентных частот могут быть не точными, а
приближенными

Группировка данных – применяется когда различных результатов измерений слишком много. Т.е их объединяют в группы.
При группировке различных данных информация становится менее точной.

СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ:
Таблица
Диаграмма круговая
( каламбер )