Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

Содержание
Актуализация опорных знаний:
определение 1;
теорема 1;
определение 2 и теорема 2;
теорема 3 и определение 3;
Итоги выборов двух элементов
Введение
Определение 4. Число сочетаний и число размещений из n элементов по k
Теорема 4Теорема 4. Формулы числа размещений и числа сочетаний. Доказательство
Пример 7. В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих.
Пример 8. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет».
Следствия из теоремы 4. Формулы
Треугольник Паскаля
Для учителя математики
Источники
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Повторение
Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют «эн факториал»:
n!=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n

Повторение
Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами.
Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: Pn=n!
Pn-это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n!.

Повторение
Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают (цэ из эн по два).
Теорема 2 (о выборе двух элементов). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами.

Повторение
Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами.
Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают

Итоги выборов двух элементов
А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k, 1≤k ≤n?

Введение
Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов.
Вот типичные вопросы:
Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой;
Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30;
7 монет из 10 данных монет;
10 карт из колоды в 32 карты и т.п.
Удобно, как и ранее, ввести специальные термины и специальные обозначения.

Определение 4
Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний ,из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают
Используя эти обозначения, нетрудно записать ответы на поставленные выше вопросы:
Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой;
Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30;
7 монет из 10 данных монет;
10 карт из колоды в 32 карты и т.п.

Теорема 4

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014

Пример 7
В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) первый ученик должен решить задачу, второй — сходить за мелом, третий — пойти дежурить в столовую;
б) им следует спеть хором?

Пример 8
«Проказница Мартышка, Осёл, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11.
а) Найти число всевозможных выборов инструментов.
б) Найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции).
в) Сколько всего различных инструментальных составов квартета может получиться?

Следствия из теоремы 4

Треугольник Паскаля

Например,

Для учителя математики
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014