Функция

Содержание

Слайд 2

§1. МНОЖЕСТВА

►Множество это совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо

§1. МНОЖЕСТВА ►Множество это совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по
признаку.

►Объекты, образующие множество, называются его элементами.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

1.1 Основные понятия

Слайд 3

►Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

► множество

►Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø. ►
А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так А ⊂ В («А включено в В»).

►Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если А ⊂ В и В ⊂ А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Слайд 4

►Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2;

►Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются: N={1;
3; ...; n; ... } —

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} —

1.2. Числовые множества.
Множество действительных чисел

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } —

— множество натуральных чисел;

— множество целых неотрицательных чисел;

— множество целых чисел;

Слайд 5

 

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа.

Между этими множествами существует соотношение
N

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Между этими множествами существует соотношение
⊂ Zo ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

— множество рациональных чисел;

R—

►Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (I).

множество действительных чисел.

IUQ=R

Слайд 6

Пусть a и b—действительные числа, причем a < b.

►Числовыми промежутками (интервалами) называют

Пусть a и b—действительные числа, причем a ►Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества
подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

1.3 Числовые промежутки.
Окрестность точки.

(a; b) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток);

[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} — отрезок (замкнутый промежуток);

[a;b) = {х : а ≤ х < b} или (a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);

(-∞; b] = {х : х ≤ b};                            [α, +∞) = {х : х ≥ α}; (-∞; b) = {х :  х а}; (-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).

Слайд 7

Пусть х0—любое действительное число (точка на числовой прямой).

В частности, интервал (х0-ε,х0+ε),

Пусть х0—любое действительное число (точка на числовой прямой). В частности, интервал (х0-ε,х0+ε),
где ε > 0, называется ε-окрестностью точки х0. Число х0 называется центром.

►Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0.

 

Слайд 8

§2. ФУНКЦИЯ

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано

§2. ФУНКЦИЯ Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции
с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества X и Y.

 

Пример. y = sinx, y = x3, y = lnx.

2.1. Понятие функции.

Слайд 9

►х называется независимой переменной или аргументом, у называется зависимой переменной.

 

 

Пример. x2+y2=9, x2-y2=1,

►х называется независимой переменной или аргументом, у называется зависимой переменной. Пример. x2+y2=9, x2-y2=1, y2=8x.
y2=8x.

Слайд 10

Пусть задана функция у=ƒ(х).

 

2.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функций

►Графиком функции

Пусть задана функция у=ƒ(х). 2.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функций
у=f(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Слайд 11

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

 

Аналитический способ: функция

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический. Аналитический способ:
задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).

Слайд 12

Графический способ: задается график функции.

Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям

Графический способ: задается график функции. Значения функции у, соответствующие тем или иным
аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Слайд 13

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Например,

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.
известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Слайд 14

1. Четность и нечетность функции.

►Функция у=ƒ(х), заданная на множестве Х, называется четной(нечетной)

1. Четность и нечетность функции. ►Функция у=ƒ(х), заданная на множестве Х, называется
, если выполнены следующие условия:

2.3. Основные свойства функции

а) множество Х симметрично относительно нуля;

 

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Слайд 15

Пример

 

 

• у=sinx, у=х3 — нечетные функции;

Пример • у=sinx, у=х3 — нечетные функции;

Слайд 16

2. Монотонность функции. 

► Функция у=ƒ(х), заданная на множестве Х, называется возрастающей (убывающей

2. Монотонность функции. ► Функция у=ƒ(х), заданная на множестве Х, называется возрастающей
),
если для любых значений х1 и x2 таких, что x1 ƒ(х2) ).

Слайд 17

3.Ограниченность функции.

 

3.Ограниченность функции.

Слайд 18

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

2.4 Основные элементарные функции и их графики.

1)

Основными элементарными функциями называют следующие функции. 2.4 Основные элементарные функции и их
Степенная функция у=хα, αєR.

y = x

y = 1/x

Слайд 21

2) Показательная функция у=aх,a>0, а ≠ 1.

y = ax, a >1

y

2) Показательная функция у=aх,a>0, а ≠ 1. y = ax, a >1 y = ax, 0
= ax, 0< a <1

Слайд 22

3)Логарифмическая функция y=logax, a>0,a≠1.

y = logax, a >1

y = logax, 0< a

3)Логарифмическая функция y=logax, a>0,a≠1. y = logax, a >1 y = logax, 0
<1

Слайд 23

4) Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgх, у=ctgx.

y = cosx

y = sinx

4) Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgх, у=ctgx. y = cosx y = sinx

Слайд 24

у=tgх

у=ctgх

у=tgх у=ctgх

Слайд 25

5) Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx.

y = arcsinx

y = arccosx

5) Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx. y = arcsinx y = arccosx