Примеры комбинаторных задач

05.03.2022
Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Раздел математики,
в котором изучают
комбинаторные задачи,
называется
комбинаторикой
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
о
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

05.03.2022
Познакомимся с некоторыми
приемами решения комбинаторных задач
решение методом перебора;
решение с помощью дерева возможных вариантов;
решение с помощью комбинаторного правила умножения;
решение с помощью таблиц;
решение с помощью графов.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
№715
У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Составим сначала все пары, в которые входит Вера.
ВЗ, ВМ, ВП, ВС
Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.
Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.
Еще одна пара
ЗМ, ЗП, ЗС
МП, МС
ПС
Всего существует 4+3+2+1=10
Решение
Ответ:10 вариантов
Вера
Зоя
Марина
Полина
Света
Получим 4 пары.
Таких пар три.
Их две.
Далее составим пары, в которые входит Полина.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
ш
ж
б
м

05.03.2022
Решение
Всего 3+2+1=6
Ответ:6 вариантов
ш
ш
ш
ж
ж
б
б
б
ж
м
м
м
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9 чисел.
Приемы решения комбинаторных задач
метод перебора
11;14;17; (начали с 1)
Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
41;44;47; (начали с 4)
71;74;77; (начали с 7)

05.03.2022
Приемы решения комбинаторных задач дерево возможных вариантов
Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов.
число
1
4
7
4
4
7
7
1
1
7
7
1
1
4
4
Ответ: числа 147;174;417;471;714;741
6 чисел (вариантов)

05.03.2022
Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
«Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k способами».
Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
Решение. 3·5 = 15
комбинаторное правило умножения

05.03.2022
Решите задачу, используя
дерево возможных вариантов
В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?
Л
В
К
М
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Ответ: 12 вариантов
Решение
М
В
К
Л

05.03.2022
С помощью дерева возможных вариантов решите задачу №714.
Котлеты
Гуляш
Рассольник Борщ
Обед
Пельмени
Сосиски
Котлеты
Гуляш
Пельмени
Сосиски
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
м
с
б
с
з
ч
к
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
12 различных наборов
м
с
б
з
ч
к
с

05.03.2022
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
Ответ:15 чисел (5·3)
1
2
4
5
9
0
2
4
10
14
12
20
22
24
40
42
44
50
52
54
90
92
94

05.03.2022
о
ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.
вершины
ребра
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Ответ:10 рукопожатий
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?
Решите задачу, используя граф
ч
к
б
п
в
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
6 завтраков
напитки
выпечка
ч
к
б
п
в
Приемы решения комбинаторных задач графы
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
ч
к
б
б
п
п
в
в
Эту же задачу можно решить, используя дерево возможных вариантов
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
ч
ч
ч
ч
к
к
к
к
п
п
п
б
б
б
в
в
в
Решение задачи с помощью таблицы
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?
Решите задачу, используя граф
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Приемы решения комбинаторных задач графы
Ответ:15 звонков
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Ответ:15 звонков
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц

Домашнее задание:
п. 30
№ 716 (перебор), 720 (дерево), 723 (граф), 725 (таблица), 727 (умножение).
05.03.2022
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов
у тебя получилось?
Задачи, решаемые
методом
организованного перебора
Приемы решения комбинаторных задач
дополнительные задачи
Задача 1

05.03.2022
Задача 1
5 наборов

05.03.2022
Приемы решения комбинаторных задач
Задача 2
В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.
Графы

05.03.2022
Решение

05.03.2022
В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу.
Приемы решения комбинаторных задач
Задачи, решаемые
с помощью таблиц
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

05.03.2022
Ответ: 25 пар
Женя
Маша
Катя
Юля
Даша
Олег
Вова
Стас
Андрей
Иван
Олег
Олег
Олег
Олег
Олег
Вова
Вова
Вова
Вова
Вова
Стас
Стас
Стас
Стас
Стас
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Иван
Иван
Иван
Иван
Иван
Женя
Женя
Женя
Женя
Женя
Маша
Маша
Маша
Маша
Маша
Катя
Катя
Катя
Катя
Катя
Юля
Юля
Юля
Юля
Юля
Даша
Даша
Даша
Даша
Даша

05.03.2022
Задачи, решаемые с помощью таблиц
На завтрак Миша может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
Ответ:12 (4·3=12)