Предел числовой последовательности и его свойства

Последовательность
Что такое последовательность?
Признаки последовательности:
Элементы последовательности располагаются строго в определённом порядке.
Каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер.

Числовая последовательность

Примеры числовых последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность приближённых значений.

Словесный способ.
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул (часто когда нет закономерности между элементами последовательности).
Способы задания
числовой последовательности
Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

2. Аналитический способ.
Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.
Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.
Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n².
Пример 3. Стационарная последовательность: у = С
С, С, С, С,…,С,…
Пример 4. Последовательность у = n² - 3n
– 2, -2,0,4,10,…
Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ
2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

3. Рекуррентный способ.
Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
Числа Фибоначчи
Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228)
Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Возрастание числовой последовательности
Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Убывание последовательности
Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Последовательность (уn), называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.
Например: -1, -4, -9, -16,…, - n² ,…
Верхняя граница - -1

Последовательность (уn), называют
ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≥ m. Число m называют нижней границей последовательности.
Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,…
Нижняя граница - 1

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью.
Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.