Геометрическое решение задачи о расстояниях между точками

Пал Эрдеш
Насколько мало может быть число минимальных расстояний между каким-либо числом точек на прямой, плоскости и в пространстве?

Задачи:
?
Цель:
Найти ответ на поставленный Эрдешом вопрос
Р – число различных расстояний
n-число точек
n(1)=n(2)
P(1)=P(2)
Число вариантов?
Функция P(N мал.)=функция Р(n большое) ?
P(n)=?
P(n) (d)?

P=1
N=d+1
Каждая грань вписана
Р(n) зависит в т.ч. от константы с.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 1-3 –
d-мерные симплексы
История решения проблемы.

Л. Гут
Н. Кац
У точки есть неких алгебраические свойства, если она является местом пересечения многих прямых
Рис. 4.
Точка в пространстве как место пересечения многих прямых.
Проблема решена не окончательно.

Актуальное решение проблемы.
Множества на прямой.
а
Т.к. никакая из длин не равна 0, длины отрезков, соединяющих любую точку с боковой, не равны друг другу.
Остальные отрезки совпадают с ними или являются следствием параллельного переноса.
Сумма
положительных чисел > любого слагаемого.
Тогда P = n-1

Если фигура вписана, она имеет вертикальную ось симметрии
Рис. 5. Вписанный пятиугольник с в.о.с.
Вертикальная
ось
симметрии
Рис. 6. Вписанный пятиугольник с в.о.с.
После поворота вокруг последней не изменился
В описанном многоугольнике из-за наличия вертикальной оси симметрии Р=Р , учитывающее только длины отрезков, исходящих из одной вершины