Интегральное исчисление

Первообразная функции
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство F’(x)=f(x)
Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции
Свойства первообразной
Если F(x) является первообразной для функции f(x), то и функции F(x)+c тоже является первообразной для f(x), где c–это константа.
Если F1 (x) и F2(x) первообразные функции f(x), то они отличаются на константу, т. е. F1(x)-F2(x) = c

Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом
Свойства неопределенного интеграла:
1.

2.
3.
4.

Таблица первообразных

Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Интегралы вычисляются с помощью свойств и табличных формул
Пример:

2. Замена переменной
Для вычисления интегралов вводится новая переменная t, через которую выражается исходная функция f(x) и исходный дифференциал dx. Вычисляется интеграл относительно новой переменной t, получается первообразная F(t) и делается обратная замена – выражаем t через выражение содержащее x
Пример:

3. Интегрирование по частям
Для вычисления интегралов используется формула:
где u и dv части исходного интеграла. Чтобы применить формулу необходимо найти v и du, применяя формулы для нахождения дифференциала и интеграла
Пусть u = f(x), тогда du = f’(x)dx;
dv = g(x)dx, следовательно v = ∫g(x)dx

Пример:
u = sin x | du = (sin x)’dx = cos x dx
dv = exdx | v = ∫exdx = ex

Определённый интеграл
Интеграл взятый на определенном отрезке называется определенным интегралом
a и b – пределы интегрирования, a – нижний предел, b – верхний предел (a < b)
Для решения определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

Свойства определенного интеграла
1.
2.
3.
4. Если f(x) ≤ g(x) на интервале [a; b], то

Применение определённого интеграла
Нахождение площади фигуры, ограниченной функцией (функциями):
где f(x) ограничивает фигуру сверху, g(x) ограничивает фигуру снизу

2. Нахождение объёма тела вращения, ограниченного функцией:
3. Нахождение длины дуги кривой:

Дифференциальные уравнения
Уравнения содержащие аргумент, функцию и её производные называются дифференциальными уравнениями
Решением дифференциального уравнения является функция y = φ (x; c), где c – константа.
При решении дифференциального уравнения производная заменяется на отношение дифференциалов: