Интерполирование с кратными узлами

Пусть на промежутке функция задана таблично, а также известны некоторые её производные. Узлы, в которых заданы производные (любого порядка), называются кратными узлами
−кратность
−кратность
−кратность

Найти многочлен степени , такой, что:
Многочлен Эрмита
Утверждение. Многочлен , удовлетворяющий условиям эрмитовой интерполяции, существует и он единственный.

Доказательство.
1) Единственность (от противного).
Пусть существует ещё один многочлен , удовлетворяющий условиям задачи. Найдём их разность.
− многочлен степени или ниже
Имеет s коней (с учётом их кратностей), т.к.
Но многочлен степени s−1 не может иметь более s−1 корней, следовательно , т.е. многочлены совпадают.

2) Существование.
Будем строить алгоритм нахождения многочлена . Что и будет доказательством его существования.
Введём узлы
Будем искать многочлен, проходящий через s узлов.
где
и
При достаточно малом все различны.
Строим таблицу разделённых разностей

Выпишем многочлен Ньютона
Выразим разделённые разности через производные
при
Когда
т.е.

Переходя к пределу получим:
Пример. Сведения о некоторой функции представлены следующей дискретной информацией:

Рассчитаем кратности узлов
Следует строить многочлен степени

Для −кратно дифференцируемой функции остаточный член интерполяционного многочлена имеет вид

Если все узлы простые (однократные), то многочлен Эрмита есть многочлен Лагранжа:
Если вся информация об сосредоточена в одном узле , то есть узел кратности n+1, то многочлен Эрмита это просто многочлен Тейлора с остаточным членом

Сплайн – интерполяция
Кубический сплайн

Сплайн – некоторая математическая модель гибкого тонкого стержня из упругого материала.
Определение. Сплайном называется определённая на отрезке функция l раз непрерывно дифференцируемая
, такая, что на каждом промежутке
– это многочлен m-й степени. Разность между степенью сплайна m и показателем его гладкости l называется дефектом сплайна

Прикладное применение.
Задача проведения гладкой кривой через точки, произвольным образом лежащие на плоскости, имеет прикладное применение. Допустим, имеется передвижная лаборатория, установленная на автомобиле, которая двигается по дороге и записывает свои географические координаты на жесткий диск бортового компьютера через определенные интервалы времени.

Лаборатория вычисляет координаты по данным, получаемым со спутников GPS (Global Positioning System − глобальной системы позиционирования) и инерциальной навигационной системы. Координаты записываются как во время движения лаборатории, так и в моменты её временных остановок. Требуется получить траекторию движения лаборатории, проведя гладкую интерполяционную кривую через точки, записанные во время проведения заезда. Траектория должна не иметь изломов в местах остановки лаборатории, когда точки траектории имеют одинаковые координаты. Эта задача решается с использованием кубических сплайнов с неравномерным сеточным разбиением параметра t.

Примеры сплайнов:
Кусочно-линейная функция
Степень сплайна – 1, дефект – 1.

Определение. Кубический сплайн дефекта 1, интерполирующий функцию есть функция
удовлетворяющая совокупности условий:

В узловых точках сплайн имеет непрерывную первую производную, т.е наклон сплайна а точке равен значению производной в этой точке.

Дано:
Найти сплайн
Рассмотрим отрезок
Вывод: строим интерполяционный многочлен с кратными узлами
− кратность 2
− кратность 2
− степень многочлена

Составим таблицу разделённых разностей

Если неизвестны наклоны сплайна (т.е. значения производной в узлах), вычисляют их примерное значение по формулам численного дифференцирования.