Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными (лекция 12)

Множественная линейная корреляция
На практике возможны случаи, когда СВ Y зависит сразу от ряда СВ X1, X2….Xn.
Уравнение регрессии в этом случае будет иметь вид
(y - yср.) = а1 (х1 – х1,ср.) + а2 (х2 – х2,ср.)+ …..аm(xm – xm, ср.)
а1, а2…аm - коэффициенты регрессии;
yср., х1,ср., х2,ср…. xm, ср. – средние значения соответственно предиктанта и предикторов;
m – число предикторов
Т.о., задача сводиться к определению значений а1, а2…аm. При небольшом числе предикторов, задачу можно решить методом Крамера. В этом случае нужно рассчитать главный определитель D

Расчет главного определителя
ri,j – парные коэффициенты корреляции.
Например, r0,3 – коэффициент корреляции между предиктантом и третьим предиктором, r2,1 – коэффициент корреляции между вторым и первым предикторами. При этом ri,j = rj,i, а на главной диагонали r0,0 = r1,1 = r2,2 = …..rm,m = 1.

Расчет коэффициентов регрессии
σу – среднеквадратическое отклонение предиктанта
σх,j – среднеквадратическое отклонение j – того предиктора
D0,0 – определитель, получаемой из главного определителя системы путем вычеркивания из него нулевой строки и нулевого столбца
D0,j - определитель, получаемой из главного определителя системы путем вычеркивания из него нулевой строки и j - того столбца

Правила расчета определителя

Если число переменных равно трем

Оценка точности уравнения
множественной линейной регрессии
Сводный коэффициент корреляции можно вычислить двумя способами:
1. По формуле
2. Как парный коэффициент корреляции между фактическими значениями предиктанта и значениями предиктанта, полученными по уравнению множественной линейной регрессии при тех же значениях аргументов.
В отличие от парного коэффициента корреляции, который может меняться от -1 до +1, коэффициент множественной корреляции меняется от 0 до +1.

Оценка точности уравнения
множественной линейной регрессии (2)
Стандартная ошибка коэффициента множественной корреляции определяется по формуле
n – длина анализируемых рядов
m- число предикторов
Стандартную ошибку уравнения множественной линейной регрессии можно оценить по формуле
Стандартная ошибка j –того коэффициента регрессии можно определить по формуле
∆j,j - минор определителя D0,0

Условия приемлемости уравнения регрессии
1. R ≥ 0,7
2. (R/σR) ≥ 2
3. (aj/σa,j) ≥ 2
n ≥ 10 (при одном предикторе)
n ≥ 25-30 (при двух предикторах)
n ≥ 50-60 (при четырех предикторах)
Третье условие считается выполненным, если оно выполняется для каждого коэффициента регрессии в отдельности