Интервальные оценки

Содержание

Слайд 2

Исходной информацией является серия измерений неизвестной величины А:
x1, x2, … xn (1)

Исходной информацией является серия измерений неизвестной величины А: x1, x2, … xn

Проблема № 1: получить численное значение определенной физической величины А экспериментальными методами.

В математической статистике серия измерений рассматривается как выборка из генеральной совокупности.
Согласно постулату 2, измеряемая величина А совпадает с генеральным средним MG

Слайд 3

Генеральная совокупность является бесконечным множеством значений, характеризуемое распределением вероятностей.
Существуют дискретные и непрерывные

Генеральная совокупность является бесконечным множеством значений, характеризуемое распределением вероятностей. Существуют дискретные и
генеральные совокупности.
Генеральная совокупность обладает числовыми характеристиками, важнейшие из которых:
генеральное среднее MG
генеральная дисперсия DG

Слайд 4

Точечные оценки измеряемой величины

(2)

Среднее статистическое

Выборочная медиана m*

Точечные оценки измеряемой величины (2) Среднее статистическое Выборочная медиана m*

Слайд 5

Состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой генерального среднего MG нормальной генеральной совокупности является

Состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой генерального среднего MG нормальной генеральной совокупности является
среднее статистическое.

Дисперсия среднего статистического равна DG /n

Слайд 6

наилучшая оценка среднеквадратичного отклонения среднего статистического

Можно ли записать результат измерений в

наилучшая оценка среднеквадратичного отклонения среднего статистического Можно ли записать результат измерений в виде : ???
виде :

???

Слайд 7

где η − доверительная вероятность.

Доверительный интервал для измеряемой величины А
(для

где η − доверительная вероятность. Доверительный интервал для измеряемой величины А (для
генерального среднего)

(3)

Величина доверительной вероятности выбирается на основе принципа практической достоверности

t – пока неизвестное число

Слайд 8

Уравнение (3) означает, что две случайные величины

с вероятностью η ограничивают постоянную,

Уравнение (3) означает, что две случайные величины с вероятностью η ограничивают постоянную,
но неизвестную величину MG = A.

безразмерное число t −
коэффициент Стьюдента.

Слайд 9

Случайное события

и

эквивалентны

Случайное события и эквивалентны

Слайд 10

Это означает, что случайная величина

с вероятностью η попадает в интервал, ограниченный

Это означает, что случайная величина с вероятностью η попадает в интервал, ограниченный
числами −t и t .

Слайд 11

В теории вероятностей доказано, что если генеральная совокупность нормальная (гауссова), то случайная

В теории вероятностей доказано, что если генеральная совокупность нормальная (гауссова), то случайная
величина

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν = n – 1.

Слайд 12

Следовательно, числа ± t представляют собой симметричные пределы интегрирования плотности распределения Стьюдента,

Следовательно, числа ± t представляют собой симметричные пределы интегрирования плотности распределения Стьюдента,
соответствующие вероятности η.

где fSt – функция плотности случайной величины с распределением Стьюдента.

Слайд 13

η − выбранная доверительная вероятность.

tη − квантиль для вероятности (1

η − выбранная доверительная вероятность. tη − квантиль для вероятности (1 + η) / 2.
+ η) / 2.

Слайд 14

По данной выборке вычисляются среднее статистическое и несмещенная оценка дисперсии s2.
По

По данной выборке вычисляются среднее статистическое и несмещенная оценка дисперсии s2. По
заданной доверительной вероятности η и числу степеней свободы ν = n – 1 извлекается из таблицы значение коэффициента Стьюдента tν ,η .
Рассчитываются границы доверительного интервала:

Процедура построения доверительного интервала для измеряемой величины.

Слайд 15

Доверительный интервал для генеральной дисперсии

Если генеральная совокупность имеет нормальное (гауссово) распределение,

Доверительный интервал для генеральной дисперсии Если генеральная совокупность имеет нормальное (гауссово) распределение,
то случайная величина

имеет распределение вероятностей «хи-квадрат» с ν = n – 1 степенями свободы

DG – генеральная дисперсия, n - объем выборки

Слайд 16

Определим числа χ12 и χ22 следующими уравнениями для вероятностей событий

(12)

(13)

Определим числа χ12 и χ22 следующими уравнениями для вероятностей событий (12) (13)

Слайд 17

Согласно уравнению (12), вероятность того, что значение случайной величины χν2 не превысит

Согласно уравнению (12), вероятность того, что значение случайной величины χν2 не превысит
числа χ12, равна (1 – η ) / 2.
Согласно уравнению (13), вероятность того, что значение той же случайной величины χν2 превышает число χ22 , равна также (1 – η ) / 2.

Слайд 18

Заштрихованы области под кривой, площадь которых равна (1 – η) / 2

Заштрихованы области под кривой, площадь которых равна (1 – η) / 2

χ12

χ22

χ2

f(χ2)

ν = 5

η = 0,95

Слайд 19

Вероятностное уравнение, эквивалентное уравнениям (12) и (13) имеет вид :

χ12 −

Вероятностное уравнение, эквивалентное уравнениям (12) и (13) имеет вид : χ12 −
квантиль для вероятности (1 - η) / 2.,
χ22 − квантиль для вероятности (1 + η) / 2.

Слайд 20

Иначе говоря, доверительной вероятности η соответствует следующий доверительный интервал для генеральной дисперсии

Иначе говоря, доверительной вероятности η соответствует следующий доверительный интервал для генеральной дисперсии

Величины χ12 и χ22 извлекаются из таблиц квантилей случайной величины «хи-квадрат», составленными для различных доверительных вероятностей η и определённых чисел степеней свободы ν.

(14)

Слайд 21

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является

где

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является где
Имя файла: Интервальные-оценки.pptx
Количество просмотров: 34
Количество скачиваний: 0