Иррациональные неравенства и способы их решения

Занятие №1.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.
Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.
Цель: Рассмотреть неравенства вида:

Поэтому данное неравенство равносильно следующей системе неравенств.
1.Рассмотрим иррациональное неравенство вида
Решение. ОДЗ неизвестного будет определяться из решения неравенства
К тому же, (x)>0, т.к

Пример 1.
Решить неравенство

Пример 1.
Решить неравенство

Тогда, решением заданного неравенства будет пересечение множеств решений системы

2.Рассмотрим неравенство вида:
Решение. ОДЗ неизвестного будет определяться из условия
Но, в отличие от предыдущего, (x) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому в процессе решения должны рассматривать два случая: (x) <0 и (x) . В первом случае данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
Но в этой системе можно опустить последнее неравенство, т.к.
при (x)<0 оно выполняется всегда. Т.о. имеем

В случае же
Заданное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
Тогда, из последней системы видно, что первое неравенство можно опустить, т. к. из f(x)>( (x))2 следует справедливость f(x)
Решением неравенства будет объединение множеств решений обоих случаев.

Пример 2.
Решить неравенство

Пример 2. Решить неравенство:
Рассмотрим два случая:

Занятие №2
Цель: Рассмотреть неравенства вида:
При решении иррациональных неравенств используются те же методы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, введение новых переменных и т.д. Однако при решении иррациональных неравенств необходимо следить за тем, чтобы выполняемые преобразования приводили к равносильному неравенству.

1.Неравенство вида
равносильно системе неравенств:
2.Неравенство вида
равносильно неравенству f(x)

Пример 3.
Решить неравенство

Пример 3.Решить неравенство:

Пример 4.
Решить неравенство

Пример4.Решить неравенство:

Занятие №3.
Цель: Рассмотреть решения неравенств методом интервалов.
При решении иррациональных неравенств методом интервалов надо всегда помнить, что нули функций рассматриваются только входящие в ОДЗ.

Пример 5. Решим иррациональное неравенство методом интервалов :

Занятие №4.
Цель: Рассмотреть решения иррациональных неравенств введением новой переменной

Пример 6. Решим неравенство введением новой переменной

ешим неравенствопеременно

Занятие №5.
Цель: Рассмотреть решения иррациональных неравенств методом замены множителя .

Пример №7. Решим неравенство методом замены множителя

Домашнее задание.
Решить неравенство:
Пример 1.
Пример 3.
Пример 2.
Пример 4.
Пример 5.

ВЫВОДЫ:
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем
возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень
Рассмотрели иррациональные неравенства и
способы их решения.
введение новой переменной , метод интервалов ,
метод замены множителя .