Исследование корреляции

Корреляция – это зависимость между двумя случайными величинами.
Корреляция
Между различными явлениями существуют сложные и многообразные связи. Их можно классифицировать.
В технике и естествознании часто говорят о функциональной зависимости. Например скорость выведения лекарственного вещества из организма.
Однако, многие явления происходят при воздействии многочисленных факторов, в этом случае, связь теряет свою строгую функциональность.
В результате, одна случайная переменная реагирует на изменения другой переменой изменением своего закона распределения.

Изучение статистических зависимостей основывается на исследовании таких связей между случайными переменными, при которых значение одной изменяется в зависимости от того, какие значения принимает другая.
Так как понятие статистической зависимости относится к осредненным условиям , прогнозы не могут быть безошибочными. Применяя некоторые вероятностные методы , можно вычислить вероятность того, что ошибка прогноза не выйдет за определенные границы.
В исследованиях между изучаемыми признаками чаще всего наблюдаются корреляционные взаимосвязи. (Связь роста с весом, прыжки в длину и бег на короткие дистанции).

Виды взаимосвязи

функциональная взаимосвязь
Функциональной называется взаимосвязь, при которой каждому значению одного показателя соответствует строго определенное значение другого.

Статистическая взаимосвязь
Статистической взаимосвязью называется взаимосвязь, при которой одному значению первого показателя может соответствовать несколько значений второго показателя.

Корреляционный анализ
Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами (Y и X).

Основные задачи корреляционного анализа
определение формы связи (линейная, нелинейная);
определение направления связи (положительная связь или отрицательная);
определение степени или тесноты взаимосвязи (слабая, средняя, сильная).

Форма зависимости

Форма зависимости

Направленность взаимосвязи

Направленность взаимосвязи

Теснота (сила) взаимосвязи

Диапазон коэффициента корреляции
.
-1 ≤ r ≤ 1

Построение корелляционного поля
Пару случайных чисел x и y,представляющих собой результаты измерения спортивных результатов, можно изобразить графически в прямоугольной системе координат в виде совокупности точек с координатами x, y. Множество этих точек образуют графическую зависимость, называемую корреляционным полем или диаграммой рассеивания.
Визуальный анализ графика позволяет выявить как форму, так и направленность и силу взаимосвязи.
Корреляционное поле необходимо обвести по краю и рассмотреть полученную фигуру, если обведенный ареал напоминает эллипс, то речь идет о линейной зависимости.
Далее производится анализ графика, если эллипс узкий, то зависимость сильная. По графику можно увидеть положительную или отрицательную направленность.

Корреляционные поля

Критерии оценки силы взаимосвязи в корреляции
(функциональная зависимость)
(сильная зависимость)
(зависимости нет)
(очень слабая зависимость)
(слабая зависимость)
(средняя зависимость)

Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации (R²) -величина квадрата коэффициента корреляции.
Величина R² показывает долю (%) части варьирования одного из признаков, связанную с варьированием другого

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона

Вычисление коэффициента корреляции Браве-Пирсона

Этапы проверки гипотезы
1. Задаются уровнем значимости α=0,05.
2. Формулируют гипотезы Н0: r=0 Н1: r≠0
3. Рассчитывают эмпирическое значение t критерия Стьюдента
4. Определяют критическое значение критерия tкр
5. Сравнивают эмпирическое значение критерия с критическим

Пример исследования корреляции
Результаты метания диска и толкания ядра

Корреляционное поле
Рис. 6. Корреляционное поле

Вычисление суммы значений xi и yi

Определение средних значений признаков xi и yi

Соответствующие суммы

Значение коэффициента корреляции Браве-Пирсона

Коэффициент корреляции лежит в интервале , поэтому можно сделать предположение о том, что между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует линейная положительная сильная статистическая взаимосвязь.

Коэффициент детерминации
Таким образом, 70% взаимосвязи между двумя наборами данных объясняется их взаимовлиянием. Остальная часть вариации обусловлена воздействием других неучтенных причин.

Вывод о статистической значимости коэффициента корреляции
Между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует значимая положительная взаимосвязь.

Коэффициенты вариации
Поскольку коэффициент вариации у результатов в метании диска больше, чем у результатов в толкании ядра, то этот признак варьирует сильнее

Находим x и y
Заполняем таблицу
Находим
Находим
Алгоритм №1 вычисления коэффициента корреляции

5. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Вычислить наблюдаемое значение критерия
Сравнить числа |Тнабл| и Tкрит :
если |Тнабл| < Tкрит , то принять гипотезу H0;
если |Тнабл| > Tкрит то гипотеза H0 отвергается

6. Коэффициент детерминации

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции

Алгоритм №2 вычисления коэффициента корреляции
Находим x и y
Заполняем таблицу
Находим ;
Находим

Находим выборочный корреляционный момент:
Находим выборочный коэффициент корреляции:

7. Найти оценки параметров линейной
регрессии по выборке.
8. Изобразить заданные точки и
прямую регрессии.
Уравнение искомой прямой